<T->
          Matemtica e realidade
          9 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Primeira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4442
          Fax: (21) 3478-4444  
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1069-4
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2010. 
          Rua Henrique Schaumann, 
          270 -- Pinheiros 
          05413-010 -- So Paulo -- SP 
          Fone: (11) 3613-3000 
          Fax: (11) 3611-3308 
          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                              I
          Dados Internacionais de
          Catalogao na Publicao 
          (CIP) 
          (Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Iezzi, Gelson 
  Matemtica e realidade : 9 
 ano / Gelson Iezzi, Osvaldo 
 Dolce, Antonio Machado. -- 
 6. ed. -- So Paulo : Atual, 
 2009. 

  ISBN 978-85-357-1069-4 (aluno)
  ISBN 978-85-357-1070-0 (professor)

  1. Matemtica (Ensino funda-
 mental) 2. Matemtica -- 
 Problemas, exerccios etc. 
 (Ensino fundamental) I.
 Dolce, Osvaldo. II. Machado, 
 Antonio. III. Ttulo.

09-01249           CDD-372.#g

          ndice para catlogo 
          sistemtico:

 1. Matemtica : Ensino 
  fundamental 372.#g
<p>
                            III
Gelson Iezzi

<R+>
Engenheiro metalrgico pela Escola Politcnica da USP 
 Licenciado pelo Instituto de Matemtica e Estatstica da USP 
<R->

Osvaldo Dolce

<R+>
Engenheiro civil pela Escola Politcnica da USP 
 Professor efetivo da rede pblica estadual de So Paulo 
<R->

Antonio Machado

<R+>
Licenciado em Matemtica e Mestre em Estatstica pelo Instituto de Matemtica e Estatstica da USP 
 Professor de escolas particulares de So Paulo 
<R->
<p>
<p>
                               V
Apresentao 

  Esta  a mais nova edio desta coleo de Matemtica. 
  Por se tratar de uma obra com finalidade didtica, esta coleo procura apresentar a teoria de maneira lgica e em linguagem acessvel ao aluno do 6 ao 9 anos do ensino fundamental. 
  Nas sries de exerccios e na introduo de alguns captulos aparecem tambm situaes-problema, ligadas quase sempre  realidade cotidiana.
  Ao fim de cada unidade existe uma srie de testes em que voc pode medir seu aproveitamento.
  Ao longo do livro so propostos problemas-desafio. O objetivo desses problemas  colocar voc diante de situaes novas, inesperadas, que o leve a analisar, pensar e desenvolver a iniciativa, de forma leve, divertida e espontnea. 
<p>
  Existe ainda na coleo a seo de leitura "Matemtica em not-
cia", em que a reproduo de um texto de jornal ou revista, ligado  Matemtica, procura mostrar que a aplicao do conhecimento adquirido  essencial para o acesso aos meios de comunicao. 
  Em outra seo de leitura, "Matemtica no tempo", voc entrar em contato com a interessante histria das descobertas matemticas por meio da abordagem de um tema ligado ao assunto que foi estudado. 
  Esperamos que voc goste deste livro e que aceite nossa companhia nesta viagem de descoberta dos nmeros e das formas. Se quiser expressar sua opinio -- seja ela 
qual for -- a respeito desta obra, escreva para a editora. Teremos muita satisfao de saber o que voc pensa. 

Bons estudos! 

Os autores
<p>
                            VII
Agradecimentos 

  Consignamos nossa mais sincera gratido aos colegas pelo apoio recebido durante a elaborao deste trabalho. 

<R+>
Affonso Luiz Reyz de Paula Neves; 
Alvaro Zimmermann 
  Aranha; Ambrogina L. Pozzi Cesar; Ana Maria de Souza Almeida Matos; ngela Maria de Carvalho Barroso; Antonio Loureno de Oliveira; Antonio Renato de Paula Pessoa; 
  Arnaldo Mendona; Augusto C. O. Morgado; Brbara Lutaif; Carlos Balbino Pelegrinelli; Cesar Augusto Soares; Cesar Soares dos Reis; Cleister Alves Cordeiro; Danilo 
  Carvalho Villela; Dylson 
  Faria Lima; Edna Maria C. Conceio; Eldon Nogueira de Albuquerque; Elias Veiga; 
  Elisabete Longo Santiago; El-Mani Gomes; Elon Lages 
<p>
  Lima; Evaldo Ribeiro da 
  Cunha; Fernando Jos Campps Lavall; Fernando Willer Klein de Aquino; Flvio 
  Leite Mota; Francisco 
  Guilherme da Silva; Gracia Tereza Bittencourt Martins; Helena Maria Tonet; 
  Henriette Tognetti Penha 
  Morato; Hiroko Ando; Hugo Jos Nascimento; Iguatemi Coquinot de Alcntara Nunes; Irene Torrano Filisetti; 
  Izelda Maciel Ramos; Jaine Rita Celentano Lino; Joo Alfredo Sampaio; Joo 
  Dionsio Amorim; Joo dos Reis Neto; Joo Pereira dos Santos; Joaquim Serafim da Paz; Jos Cardoso; Jos Fonseca Jnior; Jos 
  Geraldo; Jos Jorge Chama; Jos Wightnan de Carvalho; Judite David; Jlia Hosi; Leonor Farsic Fic; Luciano de Oliveira; Luiz Angelo 
  Marengo; Luiz Jos de 
  Macedo; Manoel Benedito 
<p>
                             IX
Rodrigues; Manuel Maria 
  Loureno de Sousa; Marcelo Antnio Ferreira; Maria 
  Aparecida Olivares Pusas Santos; Maria Aparecida 
  Simes Okamura; Maria 
  Consuelo G. B. da Silva; Maria Jos R. Pereira; 
  Marisa Ortegosa da Cunha; Martha Helena Franco de 
  Andrade; Mercs Edith Dubeux Beltro; Messias Rosa do Nascimento; Milton Carvalho Barbosa; Mitiko Imoto 
  Kawata; Nelson Jos Correia; Nilze Silveira de Almeida; Orozimbo Marinho de Almeida; Oscar Augusto Guelli Neto; Otaviano Alves; Pelegrino P. Dinard; Plnio Jos 
  Oliveira; Regina Clia 
  Santiago do Amaral Carvalho; Rmulo Pifano; Ronaldo 
  Schubert Souto; Rosngela de Ftima dos Reis Silva; 
  Sergio Augusto Seplveda 
  Figueiredo; Sidney Tognini 
<p>
  Martos; Silvia de Lima Guitti Oliveira; 
Silvia 
  Helena Augusto; Valria 
  Arajo Barbosa; Vanda 
  Cotosck; Vicente Carelli; Vilma Cotosck; Walfrido 
  Diniz Gattoni; Wancleber 
  Pacheco; Wilson Jos da 
  Silva; Yoshiko Yamamoto Nukai.
<R->
<p>
                             XI
Seu livro em braille

  Este  o livro utilizado em sua classe, produzido em braille para voc. Ele contm as mesmas informaes que esto no livro do seu colega, porm, enquanto o livro comum apresenta ilustraes, cores e tamanhos variados de letras (grandes, pequenas, ligadas umas s outras, separadas), o seu livro em braille apresenta descries substituindo ilustraes e, em muitos casos, figuras so explicadas, procurando fazer voc compreender o que elas representam.
  Dicas para estudar no seu livro em braille:
<R+>
<F->
1 -- As pginas mpares deste livro apresentam duas numeraes na primeira linha: a que fica  direita  a do prprio livro em braille e a que est  esquerda  a do livro comum. Por esta, voc pode se localizar, de acordo com a orientao do professor, ou quando estiver estudando com outros colegas.
2 -- Quando voc encontrar o sinal _`[ e, depois dele, uma frase terminada pelo sinal _`] saiba que se trata de uma explicao especial chamada "nota de transcrio", empregada nos livros em braille.
3 -- Em alguns momentos, voc precisar contar com a colaborao de algum; por isto, foi colocada a frase "pea orientao ao professor" para sugerir que voc solicite informaes ou esclarecimentos.
4 -- Sempre que voc encontrar nos textos alguma representao grfica ou descrio e tiver dvidas, pergunte a seu professor ou a outra pessoa capaz de esclarec-lo.
<F+>
<R->
<p>
                           XIII
<F->
Sumrio Geral

Primeira Parte

Unidade 1 -- Radicais 
Captulo 1- Recordando 
  potncias ::::::::::::::: 1
Potncia de expoente 
  inteiro ::::::::::::::::: 3
Captulo 2- Razes ::::: 20
Raiz quadrada :::::::::::: 21
A raiz cbica :::::::::::: 31
A quarta potncia e a 
  raiz quarta ::::::::::::: 32
Razes aritmticas ::::::: 33
Captulo 3- Relao  
  entre potncia e raiz ::: 42
Potncia de expoente 
  racional :::::::::::::::: 42
Transformando radicais em
  potncias ::::::::::::::: 51
Captulo 4- Operaes  
  com radicais :::::::::::: 60
A diagonal do quadrado 
  unitrio :::::::::::::::: 60
A diagonal do retngulo 2 
  por 1 :::::::::::::::::: 61
<p>
Adio e subtrao com 
  radicais :::::::::::::::: 63
Multiplicao e diviso 
  com radicais :::::::::::: 68
Potenciao e 
  radiciao :::::::::::::: 74

Unidade 2 -- Clculo 
  algbrico
Captulo 5- Produtos 
  notveis :::::::::::::::: 88
Quadrado da soma ou 
  diferena de dois 
  termos :::::::::::::::::: 89 
Radionalizao de 
  denominadores ::::::::::: 98
Captulo 6- 
  Fatorao :::::::::::::: 102
Recordando ::::::::::::::: 102
Fator comum e 
  agrupamento ::::::::::::: 103
Diferena de dois 
  quadrados ::::::::::::::: 104
Trinmio qudrado 
  perfeito :::::::::::::::: 106
Trinmio do 2 grau ::::: 112
<p>
                              XV
Segunda Parte

Unidade 3 -- Equaes
Captulo 7- Equao do
  2 grau :::::::::::::::: 127
Equao do 2 grau :::::: 129
Completando quadrados :::: 142
A frmula Bhaskara :::::: 145
Equaes literais :::::::: 153
Quantas razes ::::::::::: 159
Forma fatorada do trinmio 
  do 2 grau ::::::::::::: 170
Captulo 8- Equaes 
  redutveis  equao do 
  2 grau :::::::::::::::: 176
Equaes biquadradas ::::: 177
Sistemas de equaes ::::: 184
Equaes fracionrias :::: 191
Equaes irracionais ::::: 196
Matemtica no tempo -- A 
  frmula de Bhaskara :::: 211

Unidade 4 -- Temas da 
  geometria 
Captulo 9- Teorema de 
  Tales :::::::::::::::::: 220
<p>
Comparao de 
  grandezas ::::::::::::::: 220
Razo de segmentos ::::::: 221
Feixe de paralelas ::::::: 228
Teorema de Tales :::::::: 234

Terceira Parte

Unidade 4 -- Temas da 
  geometria
Captulo 10- 
  Semelhana ::::::::::::: 253
Semelhana ::::::::::::::: 254
Captulo 11- Semelhana 
  de tringulos ::::::::::: 260
Comparao de 
  tringulos :::::::::::::: 260
Semelhana de 
  tringulos :::::::::::::: 261
Teorema fundamental :::::: 279
Matemtica no tempo -- Os
  teoremas de Tales :::::: 286
Captulo 12- Casos de 
  semelhana :::::::::::::: 294
1 caso: {a{a (ngulo -- 
  ngulo) ::::::::::::::: 294
2 caso: {l{a{l (Lado -- 
  ngulo -- Lado) :::::: 297
<p>
                            XVII
3 caso: {l{l{l (Lado -- 
  Lado -- Lado) :::::::: 298
Captulo 13- Relaes 
  mtricas no tringulo 
  retngulo ::::::::::::::: 312
O tringulo retngulo :::: 312
Aplicaes notveis do 
  teorema de Pitgoras ::: 337
Matemtica no tempo -- 
  Teorema de 
  Pitgoras :::::::::::::: 359

Quarta Parte

Unidade 4 -- Temas da 
  geometria
Captulo 14- Razes 
  trigonomtricas no 
  tringulo retngulo ::::: 369
Relaes em tringulos 
  retngulos 
  semelhantes ::::::::::::: 370
Razes trigonomtricas ::: 374
Relaes entre as razes 
  trigonomtricas ::::::::: 377
Aplicaes das razes  
  trigonomtricas ::::::::: 393

Unidade 5 -- Estatstica 
  e probabilidade 
Captulo 15- Noes de 
  estatstica ::::::::::::: 430
Noes de estatstica :::: 431
Variveis discretas :::::: 433
Variveis contnuas :::::: 445
Variveis qualitativas ::: 454
Mdia :::::::::::::::::::: 476
Moda ::::::::::::::::::::: 477
Mediana :::::::::::::::::: 479

Quinta Parte

Unidade 5 -- Estatstica 
  e probabilidade 
Captulo 16- Contagem e 
  probabilidade ::::::::::: 497
Princpio fundamental da 
  contagem :::::::::::::::: 499
Probabilidade: de quanto   
  a chance? ::::::::::::::: 510

Unidade 6 -- Polgonos e 
  circunferncia 
Captulo 17- rea do 
  retngulo, do quadrado e 
  do paralelogramo :::::::: 536
<p>
                             XIX
rea ::::::::::::::::::::: 536
Captulo 18- rea do 
  tringulo, do losango e 
  do trapzio ::::::::::::: 566
rea do tringulo :::::::: 566
rea do losango :::::::::: 585
rea do trapzio ::::::::: 587
Captulo 19- Polgonos 
  regulares ::::::::::::::: 593
Polgonos simples e no 
  simples ::::::::::::::::: 593
Polgonos convexos e 
  cncavos :::::::::::::::: 594
Polgono regular ::::::::: 602

Sexta Parte

Unidade 6 -- Polgonos 
  e circunferncia
Captulo 20- Lado e 
  aptema de polgonos 
  regulares ::::::::::::::: 623
Quadrado inscrito :::::::: 623
Hexgono regular 
  inscrito :::::::::::::::: 625
<p>
Tringulo equiltero 
  inscrito :::::::::::::::: 625
Construo de polgonos 
  regulares inscritos ::::: 632
Matemtica no tempo -- 
  Polgonos regulares :::: 637
Captulo 21- Comprimento
  da circunferncia e do 
  arco :::::::::::::::::::: 645
A circunferncia e o seu 
  dimetro :::::::::::::::: 645
Comprimento da 
  circunferncia :::::::::: 648
Comprimento de um arco ::: 655
Captulo 22- rea do 
  crculo e de suas 
  partes :::::::::::::::::: 664
rea do crculo :::::::::: 665
rea do setor circular ::: 668
rea da coroa circular ::: 670
Matemtica no tempo -- 
  Nmero ^p :::::::::::::: 683

Unidade 7 -- Funes 
Captulo 23- Tabelas, 
  frmulas e grficos ::::: 690 
Representao grfica 
  da funo ::::::::::::::: 702
<p>
                             XXI
Stima Parte

Unidade 7 -- Funes
Captulo 24- Funes 
  representadas por 
  retas ::::::::::::::::::: 725
Funo constante ::::::::: 726
Funo do 1 grau ::::::: 732
Significado dos 
  coeficientes :::::::::::: 742
Funo crescente e funo 
  decrescente ::::::::::::: 749
Proporcionalidade :::::::: 762
Captulo 25- Funes do 
  2 grau :::::::::::::::: 786
Frmula e grfico da 
  funo do 2 grau :::::: 786
Funo quadrtica :::::::: 797
Captulo 26- 
  Inequaes ::::::::::::: 832
Revendo inequaes do 1 
  grau :::::::::::::::::::: 832
Inequaes do 2 grau ::: 837

<p>
Oitava Parte

Unidade 8 -- 
  Complementos
Captulo 27- Relaes 
  mtricas em um tringulo 
  qualquer :::::::::::::::: 859
Lei dos cossenos ::::::::: 860
Classificao de um 
  tringulo quanto aos 
  ngulos ::::::::::::::::: 871
Leis dos senos ::::::::::: 875
Captulo 28- Relaes 
  mtricas na 
  circunferncia :::::::::: 881
Relao entre cordas ::::: 881
Relao entre secantes ::: 882
Relao entre secante e 
  tangente :::::::::::::::: 884
Captulo 29- Outros 
  produtos notveis ::::::: 892
Cubo da soma ou diferena 
  de dois termos :::::::::: 892
Quadrado da soma de trs 
  termos :::::::::::::::::: 895
Soma ou diferena de dois 
  cubos ::::::::::::::::::: 900
<p>
                           XXIII 
Nona Parte

Respostas dos exerccios 

<F->
Unidade 1 -- Radicais 
Captulo 1- Recordando
  potncias ::::::::::::::: 919
Captulo 2- Razes ::::: 925
Captulo 3- Relao  
  entre potncia e raiz ::: 931
Captulo 4- Operaes 
  com radicais :::::::::::: 937

Unidade 2 -- Clculo 
  algbrico
Captulo 5- Produtos 
  notveis :::::::::::::::: 943
Captulo 6- 
  Fatorao :::::::::::::: 947

Unidade 3 -- Equaes
Captulo 7- Equao do  
  2 grau :::::::::::::::: 952
Captulo 8- Equaes 
  redutveis  equao 
  do 2 grau ::::::::::::: 963
<p>
Unidade 4 -- Temas da 
  geometria
Captulo 9- Teorema de 
  Tales :::::::::::::::::: 967
Captulo 10- 
  Semelhana ::::::::::::: 971
Captulo 11- Semelhana  
  de tringulos ::::::::::: 972
Captulo 12- Casos de 
  semelhana :::::::::::::: 975
Captulo 13- Relaes 
  mtricas no tringulo 
  retngulo ::::::::::::::: 977
Captulo 14- Razes 
  trigonomtricas no 
  tringulo retngulo ::::: 986

Unidade 5 -- Estatstica 
  e probabilidade 
Captulo 15- Noes de 
  estatstica ::::::::::::: 991
Captulo 16- Contagem e 
  probabilidade ::::::::::: 997
<p>
                             XXV
Unidade 6 -- Polgonos e 
  circunferncia 
Captulo 17- rea do 
  retngulo, do quadrado e 
  do paralelogramo :::::::: 1.001
Captulo 18- rea do 
  tringulo, do losango e 
  do trapzio ::::::::::::: 1.004
Captulo 19- Polgonos 
  regulares ::::::::::::::: 1.008
Captulo 20- Lado e 
  aptema de polgonos 
  regulares ::::::::::::::: 1.013
Captulo 21- Comprimento
  da circunferncia e do 
  arco :::::::::::::::::::: 1.017
Captulo 22- rea do 
  crculo e de suas 
  partes :::::::::::::::::: 1.023

Unidade 7 -- Funes
Captulo 23- Tabelas, 
  frmulas e grficos ::::: 1.028
Captulo 24- Funes 
  representadas por 
  retas ::::::::::::::::::: 1.034
<p>
Captulo 25- Funes do 
  2 grau :::::::::::::::: 1.042
Captulo 26-
  Inequaes ::::::::::::: 1.048

Unidade 8 --  
  Complementos
Captulo 27- Relaes 
  mtricas em um tringulo 
  qualquer :::::::::::::::: 1.052
Captulo 28- Relaes 
  mtricas na 
  circunferncia :::::::::: 1.055
Captulo 29- Outros 
  produtos notveis ::::::: 1.057
<p>
                          XXVII
Nota de Transcrio

  Conforme o Cdigo Matemtico Unificado para a Lngua Portuguesa -- CMU, pginas 39 e 53, as fraes podem ser escritas, em braille, das seguintes maneiras:
<R+>
<F->
A) "O numerador, precedido de sinal de nmero, escrever-se- na parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, este ltimo sem sinal de nmero."
Exemplo: #:d (trs quartos).
B) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (256) 
Exemplo: #c#d (trs quartos).
C) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos 5#bef ~
Exemplo: #:d~5 (trs quartos sobre cinco).
<F+>
<R->
<p>
  Neste livro em braille, estas formas de representao sero aplicadas de acordo com a necessidade do contedo.
<R+>
<F->
D) Todas as figuras representadas neste exemplar em braille possuem medidas aproximadas, comparadas s do original, elaboradas no sistema comum de escrita.
E) Nas figuras utilizadas para representao de fraes e, tambm, em outras situaes, as partes coloridas foram destacadas, nesta edio em braille pelo smbolo .
<R->
<F+>
<9>
<T mat. realidade 9>
<t+1> 
<F->
Unidade 1 -- Radicais

Captulos: 
1- Recordando potncias 
2- Razes
3- Relao entre potncia e raiz
4- Operaes com radicais 
<F+>
<10>

Unidade 2 -- Clculo 
  algbrico

Captulos:
 5- Produtos notveis
 6- Fatorao

Captulo 1- Recordando 
  potncias 

O supercomputador 

  Acompanhe esta notcia publicada no jornal *Folha de S. 
 Paulo* de 10/6/2008: 
  "Um supercomputador militar americano atingiu um recorde histrico de velocidade de processa-
<p>
mento ao realizar mais de 1.026 quatrilho de operaes por segundo. [...] 
  Se todos os 6 bilhes de terrqueos usassem calculadoras e fizessem contas 24 horas por dia, levariam 46 anos para completar o processamento que o Roadrunner faz em um dia." 
  A radiografia da mquina: Os detalhes do novo supercomputador.
  1 quatrilho de operaes por segundo, o que equivale ao processamento de 100 mil dos computadores pessoais portteis mais velozes de hoje.
  80 terabytes de memria (266 vezes a capacidade dos maiores discos rgidos convencionais do mercado).
  Um clculo complexo feito pelo novo computador em uma semana demoraria 20 anos para ser executado pela mquina mais rpida que existia em 1998.
  Se a eficincia de consumo dos carros tivesse crescido na mesma proporo que a velocidade dos 
<p>
computadores, um automvel hoje, na mdia, faria 85 km/l.
  Custo: U$$133 milhes.

<R+>
<F->
_`[{imagem descrita por sua legenda_`]
Legenda: ENIAC, o primeiro computador. Construdo na dcada de 1940, ele pesava 30 toneladas e media 3 m de comprimento por 2,5 m de largura. 
<F+>
<R->

  Para escrever 1.026 quatrilho em notao cientfica precisamos saber que potncia de 10 representa 1 quatrilho. 
  Qual  essa potncia? 

Potncia de expoente inteiro 
 
  Recordemos que 106  a potncia de base 10 e expoente 6. 
  As potncias de base 10 so especialmente usadas nas diversas Cincias para representar nmeros muito grandes ou muito pequenos. 
<p>
  Temos: 
<F->
102=1010=100 
103=101010=1.000 
104=10101010=10.000 
<F+>

  Para *n* inteiro, n <=2: 
 an=aaa'''a=n fatores. 
  
  Observe a sequncia dos nmeros formados pelo algarismo 1 seguido de 2 zeros, 3 zeros, 4 zeros, etc.: 
<F->
100 :> 102
1.000 :> 103
10.000 :> 104
100.000 :> 105
<F+>
<11>
  Os nmeros vo sendo multiplicados por 10. 
<F->
10010=1.000 
1.00010=10.000 
10.00010=100.000
<F+>

<R+>
_`[{um menino pergunta para dois colegas: "A potncia 1023  
<p>
  o nmero que se escreve utilizando o algarismo 1 seguido de quantos zeros?"_`]
<R->

1023=100.000.000.000.000.00~
  j.jjj.jjj=23 zeros

<R+>
_`[{uma menina pergunta para dois meninos: "Que potncia de 10 d 1 quatrilho?"_`]
<R->

1 quatrilho =
  =1.000.000.000.000.000=
  =15 zeros 
 1 quatrilho =1015 
  Agora, observe a sequncia da direita para a esquerda: 
<F->
100 1.000 10.000 100.000 
102 103 104 105 
<F+>
  Para a esquerda, os nmeros vo sendo divididos por 10. Consequentemente, o nmero de zeros e o expoente diminuem. Prosseguindo com a diverso, temos: 
<p>
<F->
<R+>
1  10  100  1.000  
  10.000  100.000
100  101  102  103 
  104  105 
<R->
<F+>
  Assim: 
<F->
101=10 
100=1 
<F+>

  a1=a; a0=1 (para a=0).
<12>

  Continuando a diviso ainda mais, comeam a aparecer zeros  esquerda do algarismo 1, e o expoente fica negativo: 
<F->
0,001  0,01  0,1  
  1
10-3  10-2  10-1 
  100
<F+>
  Assim: 
<F->
10-1=0,1=1~10=1~101
10-2=0,01=1~100=1~102 
10-3=0,001=1~1.000=
  =1~103
<F+>

  a-n=1~an (para a=0).  
<p>
  Nos destaques, recordamos como se calculam as potncias an, de expoente *n* inteiro e base real *a*. 

Exerccios

<R+>
<F->
1. Que potncia de 10  um trilho?  

2. Escrevendo na forma decimal: 
a) 1051  o nmero 1 seguido de quantos zeros? 
b) 10-51  o nmero 1 precedido de quantos zeros? 

3. Calcule, colocando na forma decimal: 
a) 103    
b) 104   
c) 10-1
d) 10-2 
e) `(-10`)-3 
f) `(-10`)0 
<p>
4. Considere que estamos no ano 2008. Que ano ser daqui a 1010 segundos? 

5. Calcule a potncia em cada item: 
a) 53; `(-4`)3; `(0,25)2; `(2~3`)3; `(1~10`)3.
b) `(-6`)2; `(-3`)5; `(0,2`)3; `(-1~2`)4; `(-1~10`)2.
c) `(0,9`)2; `(0,1`)3; `(1,5`)2; `(-2,5`)2; `(-0,3`)3.
d) 101; `(7~3`)0; `(1,7`)0; `(-2~3`)0; 30.
e) 100; `(-1~5`)1; 010; 03; `(-3,14`)0.
f) 8-2; 6-1; `(-2`)-3; `(-1~4`)-1; `(3~8`)-2; `(-2~5`)-3.
<13>

6. Agora responda: 
a) Qual  a rea do quadrado de lado 1,5 m?  
b) Qual  o volume do cubo de aresta 1,5 m?  
<p>
c) Quantos litros de gua cabem numa caixa-d'gua cbica de aresta 1,5 m?  

 Calculando a potncia a2, determinamos a rea do quadrado de lado *a*. A potncia a3  o volume do cubo de aresta *a*.

_`[{figuras no representadas_`]

rea =a2
volume =a3
 
 1 L =1 dm3

7. Qual  o expoente? 
a) 10'''=100.000
b) 10'''=0,001
c) 2'''=64
d) 7'''=343
e) `(3~10`)'''=0,09
f) `(4~3`)'''=1 

8. Calcule *x*, de modo que 102x-4=1. 
<p>
9. Calcule, ?x2y2-x3y*~?y2-x2*, para x=0,5 e y=1,5.  
10. Calcule o valor de 16x-2-8x-1+4-1, para x=`(1~2`)-4.

11. Calcule as expresses: 
a) `(0,25`)2-`(0,5`)3
b) 3`(1~2`)3-5`(-1~2`)2+
  +5.2-1-3.20
c) `(7-5,5`)2
d) `(22+2-2`)2

12. Calcule o valor de `(-1`)n+`(-1`)2n+`(-1`)3n, em que: 
a) *n*  mpar 
b) *n*  par  

13. Em 1994, Brasil e Itlia disputaram a final da Copa do Mundo de futebol. Terminada a partida o Brasil era tetracampeo. Calcule qual foi o resultado do jogo no tempo regulamentar.  
<p>
Brasil: `(-1`)2n+`(-1`)?2n+1*+
  +`(-1`)?2n+2*+`(-1`)?2n+3*  
Itlia: `(-1`)4n+`(-1`)?4n+1*+
  +`(-1`)?4n+2*+`(-1`)?4n+3*
 
14. Simplifique as expresses: 
?a1-b-1*~?a-1+b-1*;
  `(x-1+y-1`)`(x+y`)-1.
<F+>
<R->
<14>

A massa da Terra 

  Estima-se que a massa da Terra seja 6,0.1024 kg. A populao do planeta j ultrapassou a marca de 6 bilhes de habitantes. 
  Imaginemos que cada habitante tenha, em mdia, 50 kg. 
  Quantas vezes a massa da Terra  maior que a massa de toda a populao humana? 
  A massa (em kg) da populao humana : 
 6 bilhes 50=300 bilhes = 
  =31011 
  Vamos dividir a massa da Terra pela massa da populao humana: 
 ?6,01024*~?31011* 
<p>
  Nessa diviso, empregamos uma das propriedades das potncias que j estudamos nos anos anteriores. Veja: 
  1024~1011  um quociente de potncias de mesma base. 
  Para calcul-lo, conservamos a base e subtramos os expoentes: 
 1024~1011=10?24-11*=
  =1013 
  Ento: 
?6,01024*~?31011*=
  =21013 
  A massa da Terra  21013 vezes a massa de toda a populao humana. 

As propriedades das potncias 

  O quadro a seguir apresenta um resumo das propriedades das potncias: 

<R+>
<F->
_`[{quadro adaptado, contedo a seguir_`]
1) Um produto de potncias de mesma base  igual  potncia 
<p>
  que se obtm conservando a base e somando os expoentes. 
am.an=a?m+n*
2) Um quociente de potncias de mesma base  igual  potncia que se obtm conservando a base e subtraindo os expoentes. 
am~an=a?m-n* (para a=0)
3) Um produto de potncias de mesmo expoente  igual  potncia que se obtm multiplicando as bases e conservando o expoente. 
am.bm=`(a.b`)m
4) Um quociente de potncias de mesmo expoente  igual  potncia que se obtm dividindo as bases e conservando o expoente. 
am~bm=`(a~b`)m (para b=0)
5) Uma potncia elevada a um dado expoente  igual  potncia que se obtm conservando a base e multiplicando os expoentes. 
`(am`)n=a?m.n*
<F+>
<R->
<15>
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
15. Uma molcula de acar comum (sacarose) tem 5,710-22 g de massa e uma molcula de gua, 3,010-23 g. 
a) Pesquise o que  molcula. 
b) Qual das duas molculas tem mais massa?  
c) Quantas vezes uma  maior que a outra?  

16. Num copo de gua com acar h 180 g de gua e 11,4 g de acar. Usando os dados do exerccio anterior, calcule: 
a) quantas molculas de gua h no copo; 
b) quantas molculas de acar h no copo;  
c) quantas vezes h mais molculas de gua do que de acar;  
d) o total de molculas de gua com acar. 
<p>
17. Reduza a uma s potncia, aplicando as propriedades: 
a) a2`.a5`.a
b) 108~103
c) 23`.a3`.b3
d) 25~35
e) a-5)-2
f) ?(23)2.24*~28

18. Obtenha o resultado de: 
a) (2,51012)(4,0109)   
b) (3,610-4)(5,510-5)  
c) (1,2108)(8,210-5) 
d) (4,01015)(8,01010)

19. Uma molcula de sal de cozinha pesa 9,710-23 g. Quantas molculas existem em 1 kg de sal? Responda na notao cientfica `(a10n, em que 1<=a <10`). 
20. Qual  maior: 532 ou `(53`)2? 
21. Por quanto devemos multiplicar 510 para obter 1010?  
<p>
22. Responda: 
a) Por quanto devemos multiplicar 35 para obter 65?  
b) Por quanto devemos dividir 1012 para obter 512?  

23. Simplifique: 
a) x2.x3.x4
b) 76~72
c) `(a3`)3`.a-2
d) ?112.114*~113
e) `(3a`)5.`(a~3`)2
f) `(1~2`)4.`(2~3`)3.
  .`(1~3`)-2

24. Simplifique as expresses: 
a) `(a2b~c`)3.`(c~a3`)2.
  .`(1~b`)-2
b) `(xy2~2`)4.`(x2y~4`)-2
c) `(3xy~4`)-3.
  .`(2x2y2~3`)2`(16x~9y`)

25. Responda s questes: 
a) 2?n+3*  quantas vezes 2n? 
b) 2n+2?n+1*+2?n+2*  quantas vezes 2n?
<16>
<p> 
26. Na reta numrica esto assinalados alguns pontos: 
<F+>
<R->

<F->
     A  B      C         D   
 ::::o::o::::::o:::::::::o::o
     0  1      10        100
<F+>

<R+>
<F->
  Entre quais pontos consecutivos deve ser assinalado o nmero resultante do clculo de ?10?4+n*-103.10n*~
 ~?104.10n*?

27. Como 210=1.024, em algumas situaes usamos a aproximao 210^=103. Um multimilionrio decidiu doar, em partes iguais, 230 reais para 1.000 instituies de caridade no mundo. Quanto recebeu cada uma, aproximadamente? 
28. Tendo em vista que 210^=103, faa a aproximao, usando potncias de 10: 
260; 264
<F+>
<R->
<p>
Desafios

Lojista esperto? 

  O preo de uma camiseta aumentou 25%. Numa liquidao, o lojista decide vend-la pelo preo antigo, anterior ao aumento. Para isso, ele coloca na camiseta o anncio: Desconto de 25%.
<R+>
<F->
a) O lojista acertou no clculo do desconto? 
b) Se no acertou, qual deveria ser o valor anunciado?  
<F+>
<R->

Uma questo de lgica 

  Numa prova composta de testes com quatro alternativas, das quais somente uma era correta, foi proposta a seguinte questo: 
  O matemtico Hudde nasceu: 
<R+>
<F->
a) no sculo XIX; 
b) no sculo XX; 
<p>
c) antes de 1860; 
d) depois de 1830. 
<F+>
<R->
  Qual  a alternativa correta nesse teste? 

               ::::::::::::::::::::::::

<p>               
Captulo 2- Razes 

O jardim reformado 
  
  No jardim da casa de Gabriela havia um gramado retangular cujos lados mediam 2 m e. Portanto, a rea do gramado era de 
 2 m 1 m, ou seja, 2 m2. 

<F->
!:::::::
l       _ 1 m
l       _
h:::::::j
  2 m
<F+>

  O senhor Jacir, pai de Gabriela, gosta muito de Geometria. Ele decidiu mudar a forma do gramado, de retngulo para quadrado. 
  No foi difcil realizar o projeto. Ele teve apenas de retirar, cuidadosamente, duas partes triangulares do gramado e replant-las, de tal maneira que se formasse um 
<p>
quadrado. O gramado continuou tendo a mesma rea de 2 m2. Mas, e agora? Quanto medem os lados do gramado? 
<18>

Raiz quadrada 

  Voc j sabe que a rea de um quadrado  a medida do lado elevada ao quadrado. Assim, a medida, em metros, do lado do gramado da casa de Gabriela  o nmero positivo que elevado ao quadrado  igual a 2. 
  Esse nmero existe no conjunto dos nmeros reais. Ele  representado por 2 e chama-se raiz quadrada aritmtica de 2. 

  Raiz quadrada aritmtica de um nmero real positivo *a*  o nmero positivo indicado por a que, elevado ao quadrado, resulta em *a*. 
<p>
  Por exemplo, 100=10, porque 10  o nmero positivo que, elevado ao quadrado, d 100. 
  De fato, 102=1010=100. 

<R+>
_`[{um professor pergunta para a turma: "E quanto  2?"_`]
<R->

  Sabemos que 2  positivo e `(2`)2=2.  
  Como 12=1<2 e 22=4>2, temos 1<2<2. Logo, 2=1,... 

<R+>
_`[2, numa reta, est entre 1 e 2_`]
<R->

  Vamos testar os valores 1,4 e 1,5. 
  Como (1,4)2=1,96<2 e (1,5)2=2,25>2, temos 1,4<2<1,5. Logo, 2=1,4... 

<R+>
_`[2, numa reta, est entre 1,4 e 1,5_`]
<R->
<p>
  Como (1,41)2=1,9.881<2 e (1,42)2=2,0.164>2, temos 1,41<2<1,42. Logo, 2=1,41... 
  Em uma calculadora, para obter 2  s teclar: 2  e o visor mostrar 1,414.213.562 (calculadora de dez dgitos). 
  Recordemos que 2  irracional, portanto sua representao decimal  infinita e no peridica. O que a calculadora fornece  um valor aproximado, com nmero de casas de acordo com a sua capacidade. 
  Ento, o lado do gramado do senhor Jacir mede 2 metros, que , aproximadamente, 1,41 m (1 metro e 41 centmetros). 
<19>
<p>
A equao x2=a 

<R+>
_`[{duas meninas esto sentadas lendo. Uma fala para a outra: "Pense: Qual  o nmero que elevado ao quadrado resulta em 1.600? Pensou? Ento continue a leitura." A outra fica surpresa_`]
<R->

  Representando por *x* o nmero desconhecido, formamos a equao x2=1.600. 
  Essa equao apresenta duas solues: 
 x=40 (porque 402=4040=
  =1.600) ou x=-40 (porque 
  `(-40`)2=`(-40`)`(-40`)=1.600) 
  Logo, a pergunta tem duas respostas: 40 e -40. 
  O nmero positivo 40  chamado raiz quadrada aritmtica de 1.600 (40=1.600). 
  Por isso, na resoluo da equao dada, indicamos: 
<p>
<F->
x2=1.600 <:> `(x=1.600=40 
  ou x=-1.600=-40`) ou ainda, 
  mais resumidamente: 
x2=1.600 <:> x=!:-1.600=
  =!:-40 
<F+>

  Para *a* positivo, temos: x2=a <:> x=!:-a. 

  Qual  a soluo da equao x2=0? 
  O nico nmero que elevado ao quadrado d zero  o prprio zero. Essa equao s possui uma soluo: x=0. 
  Tambm dizemos que a raiz quadrada de zero  zero e indicamos 0=0. 

  x2=0 <:> x=0 

<R+>
_`[{uma professora mostra no quadro a equao x2=-4 e pergunta para a turma: "Agora pense na equao escrita no quadro. Por que essa equao no tem a soluo em _r?"_`]
<R->
<p>
  Nenhum nmero real elevado ao quadrado tem resultado negativo. Ento, essa equao no tem soluo no conjunto dos nmeros reais (que indicamos por _r). 
  
  Para *a* negativo, x2=a no tem soluo em _r. 
<20>

Exerccios

<F->
<R+>
29. Um auditrio tem *n* fileiras, cada uma com *n* assentos. 
  Se a capacidade  de 196 pessoas sentadas, quantas so as fileiras?  
30. Identifique trs quadrados na figura _`[no representada_`] e d a medida do lado de cada um.  
<R->
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<F->
<R+>
31. Quais so as dimenses de uma sala quadrada de 49 m2 de rea? 
<p>
32. Um edifcio comercial tem *n* andares; em cada andar h *n* janelas. Se o total de janelas  121, quantos andares tem o edifcio? 

_`[{cartaz mostrando um edifcio com as seguintes informaes_`]
Torre Center
Edifcio Comercial
Segurana total
Um por andar
ltimas unidades!!!

33. De acordo com o texto, 1.600=40 e -1.600=-40. Vale o sinal antes do radical . Classifique em certo ou errado: 
a) 25=5  
b) 25=!:-5 
c) 25=-5 
d) -25=-5  
e) 36=6  
f) 36=!:-6  
<p>
34. D o valor de: 
a) 64   
b) 100    
c) 400 
d) 900 
e) -81 
f) -625 
g) -10.000  
h) -1.000.000 
<21>

35. Indique as solues de cada equao: 
a) x2=36 
b) x2=144 
c) x2=-9
d) x2=0
e) x2=5 
f) 3x2-6=0 

36. Resolva as equaes em _r; isto , determine as solues reais: 
a) 2x2-8=0
b) 3x2+3=0   
c) 4x2-1=0 
d) 9x2+4=0 
<p>
37. Agora responda: 
a) Qual  a mdia aritmtica de 6 e 54? E a mdia geomtrica? 
b) Qual das mdias  maior? 

  Dados dois nmeros positivos *a* e *b*, a mdia aritmtica  ?a+b*~2, e a mdia geomtrica  ab.

38. Calcule: 
a) 3+16-25
b) 549-121
c) ?4~25*+3?1~9*
d) 1,21-0,01

39. Calcule o valor de ?-b+b2-4ac*~2a, em que a=20, b=11 e c=-3.

40. Para fazer este exerccio, use uma calculadora que tenha a tecla . 
a) Copie e complete a tabela com valores aproximados at a 3 casa decimal. 
<R->
<F+>
<p>
 !::::::::::
 l a   _ @a _
 r:::::w:::::w
 l 2  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 3  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 5  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 6  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 7  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 10 _ ''' _
 h:::::j:::::j

<R+>
<F->
b) Usando os valores obtidos na tabela, calcule com aproximao de centsimos: 
25+1; ?10-3*~2

41. Coloque os nmeros 0,`(2-3`) e `(3-2`) em ordem crescente. 
<p>
42. Quais das expresses seguintes no representam nmeros reais? 
a) -4  
b) 0   
c) 2 
d) 0,16
e) ?3-4*
f) ?2+1*
g) ?2-1* 
h) ?1-2* 
<F+>
<R->

A aresta do cubo 

  Uma determinada marca de tinta  vendida num recipiente cbico que tem capacidade de 4,096 L -- o mesmo que 4.096 cm3. Quantos centmetros mede a aresta do recipiente? 
<22>

A raiz cbica 
  
  Como o volume de um cubo  igual  medida da aresta elevada 
<p>
ao cubo (expoente 3), devemos descobrir o nmero *x* tal que x3=4.096. 
  Vamos testar o nmero 16. 
 161616=4.096=163; ento,
  a aresta mede 16 cm. 
  Dizemos que 16  a raiz cbica aritmtica de 4.096 e indicamos: 
 34.096=16 (l-se: "raiz 
  cbica de 4.096  16") porque 
  163=4.096. 

  Elevando os algarismos ao cubo, s o 6 resulta em nmero com final 6.

A quarta potncia e a raiz quarta 

  Qual  o nmero que elevado  quarta potncia resulta em 16? 
  Em outras palavras, quais so as solues da equao x4=16? 
  H duas solues: O nmero 2, porque 24=2222=16 e o nmero -2, porque `(-2`)4=
 =`(-2`)`(-2`)`(-2`)`(-2`)=16. 
<p>
  A soluo positiva 2  chamada raiz quarta aritmtica de 16 e indica-se: 
 416=2 (l-se: raiz quarta 
  de 16  2) 
  Dessa forma, 416=2, porque 2  o nmero positivo que elevado  quarta potncia  igual 16. 

Razes aritmticas 

  Razes quadradas, cbicas, quartas, etc. enquadram-se na seguinte definio geral: 

  Raiz n-sima aritmtica de um nmero real positivo *a*  o nmero positivo indicado por na que, elevado ao expoente *n*, d *a*. 

  Sendo *a* positivo: 

  na=x se, e somente se, x >0 e xn=a.
  
  Nessa definio, *n* pode ser qualquer inteiro positivo. 
<p>
  Em na dizemos que *n*  o ndice da raiz e que *a*  o radicando. 
  Veja os exemplos a seguir: 
<R+>
<F->
 31.000=10 `(103=1.000`). 
ndice: 3 
radicando: 1.000
 4625=5 `(54=625 e 5>0`). 
ndice: 4 
radicando: 625 
<F+>
<R->
<23>

A equao xn=a, *n* par 

  J vimos que: x2=1.600 <:> x=!:-1.600=!:-40. 
  A equao x4=16 tambm tem duas solues: 2 e -2. Escrevemos: 
 x4=16 <:> x=!:-416=
  =!:-2 
  
  Para *a* positivo e *n* par, temos: xn=a <:> x=!:-na. 
<p>
  Equaes como x2=-4, x4=-16, x8=-1 no apresentam soluo real, uma vez que nenhum nmero real elevado a um expoente par d resultado negativo. 

  Para *a* negativo e *n* par, xn=a no tem soluo (ou raiz) real. 

As medidas do aqurio 

  Em um aqurio cbico, cabem 1.000 L de gua. Quanto mede a aresta do aqurio? 
  Como 1 L =1 dm3, no aqurio cabem 1.000 dm3 de gua. Sendo *x* a medida da aresta, em decmetros, temos: 
 x3=1.000 
  Essa equao s admite no conjunto dos nmeros reais a raiz 10, nico nmero real que, elevado ao cubo, resulta em 1.000. Indicamos: 
 x3=1.000 <:> x=31.000=
  =10 
<p>
  Portanto, a aresta mede 10 dm (que  1 m). 

A equao xn=a, *n* mpar 

  Vejamos outro exemplo. 
  Vamos determinar a soluo real da equao x3=-64. 
  Como `(-4`)3=`(-4`)`(-4`)`(-4`)=
 =-64, a soluo dessa equao  x=-4. Dizemos que a raiz cbica real de -64  -4. Indicamos: 
x3=-64 <:> x=3-64=-4 
<24>
  Mais um exemplo: 
 x5=-1 <:> x=5-1=-1, pois 
  `(-1`)5=-1

  Para *n* mpar, temos: xn=a <:> x=na. 
  
  Duas observaes devem ser feitas: 
<F->
<R+>
 como 02=0,03=0,04=0, etc., qualquer que seja o ndice *n* definimos: 
n0=0 
<p>
 a equao xn=0 apresenta apenas a raiz x=0, qualquer que seja o expoente *n*. 
xn=0 <:> x=0 
<R->
<F+>

Exerccios

<F->
<R+>
43. Qual a medida da aresta de um cubo de volume 512 cm3? 

44. Responda: 
a) Quais so a mdia aritmtica e a mdia geomtrica de 3, 8 e 9?  
b) Qual das mdias  maior? 

45. Calcule e compare as mdias aritmtica e geomtrica de 4, 5, 20 e 25. 

  A mdia aritmtica de *n* nmeros positivos a1, a2, ''', an  ?a1+a2+'''+an*~n, e a mdia geomtrica  n?a1a2'''an*.
<p>
46. D o valor das expresses: 
a) 3-1
b) 3?1~125*
c) 3?-8~27*
d) 4256
e) 4?1~10.000*
f) 532
g) 5?-1~32*
h) 60
i) 101.024 

47. Calcule: 
a) 59-338   
b) ?21.4-3* 
c) ?62+82* 
 
48. Que nmero deve ser colocado no lugar dos pontinhos? 
a) ...=100
b) 3...=-8
c) ...64=4
d) ...64=2

49. Resolva as equaes em _r (isto , determine as razes reais): 
a) x2=4
b) x2=25
<p>
c) x2=0,09
d) x2=49~121
e) x3=1
f) x4=1
g) x4=-16
h) x3=1~8
<25>

50. Calcule a expresso de cada item: 
a) 49; 100; 225; 38; 
  3-8; 3-1; 41; 40; 316.
b) 525; 0,25; 1,44; 
  30,027; 26,25; 
  1030,001; -1~20,04; 
  0,31,21; 24?1~16*.

51. Calcule: 
a) 30-30
b) -9+5.2-1
c) 3-1-1+3.`(664`)0
d) ?64-3-8+34*~2
e) 316-5327
<p>
52. Das quatro expresses a seguir, qual tem o maior valor? E o menor? 
a) 16+9-?16+9*
b) ?100-36*~?100-36*
c) `(?9-4.2*-5`)2
d) ?52-32*.3?7-23* 

53. Resolva a equao de cada item: 
a) x2=0,25; x3=125; 
  x3=-8; x3=0; x2=0,04; 
  x3=-1~64; x4=-1; x4=16.
b) x2=0; x2=-1; x3=-1; 
  x3=-27~1.000; x2=100;
  x2=-1; x5=1; x6=1.
<R->
<F+>

Desafio

Acomodando passageiros 

  Em um automvel viajaro duas pessoas nos bancos dianteiros e trs no banco traseiro. De quantas maneiras distintas podem as 
<p>
cinco pessoas ocupar esse automvel? Imagine que todos saibam 
 dirigir.

               ::::::::::::::::::::::::

<P>
<26>
Captulo 3- Relao 
  entre potncia e raiz

Potncia de expoente racional 

  Sabemos que 42=44=16 e 43=444=64. Tomando-se como expoente um nmero compreendido entre 2 e 3 -- por exemplo 2,5 --, escrevemos a potncia 42,5. 

<R+>
_`[{trs jovens observam a potncia 42,5=... no quadro. Um deles pergunta: "Existe essa potncia?". Uma menina pergunta: "Como se calcula?". Um menino questiona: "Quanto vale?"_`]
<R->
 
  Lembremos que nmeros racionais so todos os nmeros inteiros e todas as fraes (em que numerador e denominador sejam inteiros). Alm disso, todo nmero racional pode ser representado na forma m~n, em que *m* e *n* so nmeros inteiros e *n*  positivo. 
<p>
  Por exemplo, o nmero 2,5  o mesmo que 5~2.
  Assim, notamos que, para a questo formulada acima, temos 42,5, que  4?5~2*. 
  E agora, como calcular potncias do tipo a?m~n*, em que *a*  um nmero real positivo? 
  Como os nmeros inteiros tambm so racionais, as propriedades estudadas para expoentes inteiros devem ser preservadas quando se amplia o campo do expoente para os racionais. Ento, aplicando: 
 `(am`)n=a?m.n* 
  Temos, para o caso da potncia 4?5~2*: 
 4?5~2*=`(22`)?5~2*=
  =2?2.5~2*=25=32 
  Observe que 2,5 est entre 2 e 3. Assim: 
 42,5`(=32`) est entre 
  42`(=16`) e 43`(=64`) 
<p>
  2,5  a mdia aritmtica de 2 e 3. Mas 32 no  a mdia aritmtica de 16 e 64; logo 42,5 no  a mdia aritmtica de 42 e 43. 

<R+>
_`[{um menino fala: "Preste ateno!"_`]
<R->
<27>

  Vejamos outro exemplo: 

<R+>
_`[{um menino pergunta para uma menina: "Quanto  160,25?"_`]
<R->

  O expoente 0,25 est entre os inteiros 0 e 1. 
  Sabemos que 160=1 e 161=16. Ento, 160,25 dever ser um nmero entre 1 e 16. 
  Considerando que 16=24 e fazendo valer `(am`)n=a?m.n*, teremos: 
 160,25=`(24`)0,25=
  =2?4.0,25*=21=2 
<p>
Empregando raiz 

  Agora, considere que a?m~n*=x, em que *a* e *x* so nmeros positivos. Elevando ambos os membros ao expoente *n*, obtemos: 
 `(a?m~n*`)n=xn
  Fazendo valer a propriedade da potncia de potncia, fica: 
 a?m~n.n*=xn
 am=xn
  Como *x*  o nmero positivo que elevado a *n* d o resultado am, pelo conceito de raiz 
 n-sima, temos que: 
 x=nam
  Ento, substituindo *x* na igualdade de partida, ficamos com: 
 a?m~n*=naam
   assim que definimos potncia de base positiva e expoente racional: 
 a?m~n*=nam
  Retomando os exemplos vistos, observe: 
<p>
 42,5=45~2=45=
  =1.024=32
160,25=16?1~4*=
  =4161=416=2
  Com essa definio, as propriedades estudadas para potncias de expoente inteiro so preservadas (continuam valendo) para expoentes racionais. 
<28>
  Veja outros exemplos: 
<F->
8?2~3*=382=364=4 
  ou 8?2~3*=`(23`)2~3=
  =2?3.2~3*=22=4
9?-1~2*=9-1=?1~9*=
  =1~3 ou 9?-1~2*=
  =`(32`)?-1~2*=
  =32`(-1~2`)=3-1=1~3
10?3~5*=5103=51.000
5?1~2*=51=5
<F+>

Exerccios

  Veja dois modos de calcular 
  6250,25: 
 6250,25=625?1~4*=
  =4625=5
 6250,25=`(54`)0,25=
  =54.0,25=51=5 
<p>
  Para ajudar, fatore como no 
  exemplo:
<F->
625_5
125_5
25 _5
5  _5
1  _
<F+>

<R+>
<F->
54. Calcule pelo modo que achar melhor: 
a) 49?1~2*
b) 125?1~3*
c) 8?4~3*
d) 25?3~2*
e) 81?-1~4*
f) 16?3~2*
g) 90,5
h) 10.0000,25
i) 1.0240,2

55. Escreva empregando radicais: 
a) 10?4~5*
b) 10?1~2*
c) 10?-2~3*
d) 5?1~3
<p>
e) 8?7~2*
f) 2?-1~4*
g) 60,5
h) 30,25

56. Indique se as igualdades so verdadeiras ou falsas: 
a) 3?1~2*=3
b) 52=2?1~5*
c) 2?3~2*=322
d) 310=10-3
e) 7-2=7
f) 7=7?1~2*

57. Calcule as potncias: 
a) 36?1~2*
b) 9?5~2*
c) 32?3~5*
d) 0,25?1~2
e) 160,75
f) 4?3~2*
g) 27?2~3*
h) 81?-1~2*
i) 1?-2~3*
j) 80,666...
k) (0,36)0,5
l) 1002,5
<p>
58. Calcule: 
a) 0,027?1~3*
b) 161,25
c) 8?1~3*+30-2.40,5
d) 270,333...+27?-2~3*
e) 4-1-3.`(-2`)1+
  +25?1~2*
f) 2?1~2*+30+4?-1~2*
g) ?`(0,001`)?1~3*.
  .100?3~2**~10-1
h) `(81~16`)0,75-`(2~3`)-1

59. Observe atentamente os clculos seguintes. Em um deles foi cometido um erro. Onde foi? 
Carto verde:
8?-1~3*=38-1=
  =3?1~8*=1~2
Carto roxo:
8?-1~3*=`(1~8`)?1~3*=
  =`(1~8`)-3=83=512
<29>

60. Qual  o expoente para cada uma das igualdades? 
4x=1; 4x=2; 4x=4; 4x=8; 4x=16. 
<p>
61. Qual  o expoente? 
a) 2x=1
b) 2x=1~2
c) 2x=2
d) 9x=1
e) 9x=3
f) 9x=1~3

62. Para que valor de *x* tem-se 210x-1=1? 

63. Leia e responda os itens a seguir: 
a) Calcule 1001, 1001,5 e 1002.  
b) A mdia aritmtica dos expoentes 1 e 2  1,5. A mdia aritmtica das potncias 1001 e 1002  1001,5? Justifique sua resposta. 
c) Verifique se a mdia geomtrica de 1001 e 1002  1001,5. 

64. Indique qual  a mdia aritmtica e qual  a mdia geomtrica de 10m e 10n. 
<F+>
<R->
<p>
<R+>
Transformando radicais em 
  potncias 
<R->

  Aplicando a definio de potncia de expoente racional, podemos transformar um radical em potncia: 
 nam=a?m~n* (se a >0)
  Por exemplo: 352=
 =5?2~3*, 7=7?1~2*, 
 103=10?3~2*, etc. 
  Isso permite operar com radicais empregando regras da potenciao. 

Simplificao de radicais 

  Observe estes clculos: 
<R+>
<F->
 6104=10?4~6*=
  =10?2~3*=3102.
  Ento, 6104=3102. 
 8220=2?20~8*=
  =2?5~2*=25. Ento, 
  8220=25.
<F+>
<R->
<p>
  Ou seja: 
 npamp=a?mp~np*=am~n=
  =nam `(a >0`)
<30>

  O valor de uma raiz aritmtica no se altera quando dividimos o ndice do radical e o expoente do radicando por um mesmo nmero. 
 npamp=npamp=nam `(a >0`)

  Aplicamos essa propriedade para extrair razes ou simplificar radicais. Veja os exemplos: 
<F->
256=28=24=16
31.000.000=3106=
  =102=100
449=472=7
<F+>

  Comeamos fatorando o radicando:
<F->
256_2
128_2
 '''_'''
256=28 
<F+>
<p>
Raiz de um produto 

  Observe os clculos a seguir e as concluses que pudemos tirar: 
<F->
?4.9*=36=6
4.9=2.3=6
?4.9*=4.9
3?8`.125*=31.000=10
38.3125=2.5=10
3?8`.125*=38.3125
<F+>
  Vamos generalizar: 
 nab=`(ab`)?1~n*=a?1~n*.
  .b?1~n*=na.nb

  A raiz aritmtica de um produto  igual ao produto das razes aritmticas dos fatores: nab=nanb `(a >0, b >0`).
 
  Essa propriedade  muito til; por meio dela podemos extrair razes ou simplificar radicais, decompondo o radicando em fatores e, em seguida, extraindo as razes dos fatores e multiplicando os resultados. 
<p>
  Veja mais exemplos: 
<F->
196=?22.72*=
  =22.72=2.7=14
3216=3?23.33*=
  =323.333=2.3=6
12=?4.3*=4.3=23
50=?25.2*=25.2=52
<F+>
<31>

Exerccios

<R+>
<F->
65. Escreva como potncia: 
a) 324
b) 695
c) 5-1
d) 103
e) 32
f) 6
g) 2
h) 3

66. Calcule: 
a) 38
b) 3103
c) 24
d) 106
e) 329
f) 458
<p>
67. Aplique a propriedade da raiz de um produto e calcule: 
a) ?4.36*
b) ?9`.100*
c) 3?8.8*
d) 3?27.1.000*
e) ?22.52*
f) 4?28.54*

68. Responda s questes: 
a) Qual  a mdia geomtrica de 25 e 49? 
b) Qual  a mdia geomtrica de 3, 8 e 9? 

69. Calcule, fatorando o radicando: 
a) 256
b) 729
c) 3343
d) 51.024
e) 1.296
f) 1.089
<p>
70. Simplifique, fatorando o radicando: 
a) 12
b) 18
c) 20
d) 20
e) 180
f) 90
 
71. Sabendo que 2^=1,414 (l-se: "2  aproximadamente igual a 1,414"), calcule o valor aproximado, com duas casas decimais, de: 
a) 8
b) 250
c) 6-32

72. Quanto mede a aresta de um cubo que tem volume igual ao de um bloco retangular de 512 
  mm 216 mm 125 mm? 

73. Agora voc  o professor. Corrija a lio dando 1 ponto a cada resposta verdadeira e 0 
<p>
  para cada resposta falsa. Qual a nota do aluno que fez esta lio?  
a) 8=22
b) 32=42
c) 27=33
d) 108=63
e) 72=62
f) 40=410
g) 375=153
h) 548=203
i) 364=4
j) -2128=-162 
<32>

74. Indique se as igualdades so verdadeiras ou falsas. 
a) 49=3
b) 464=22
c) 6=3.2
d) 5=3+2
e) 5<3+2

75. Qual  o menor inteiro positivo que devemos multiplicar por 360 para obter um inteiro quadrado perfeito? 
<p>
  Um inteiro  quadrado perfeito quando sua raiz quadrada  um nmero inteiro.

76. Se 3100x  um nmero inteiro, qual  o menor valor possvel de *x*, inteiro e positivo?  
<F+>
<R->

Desafios

Fumantes incmodos 

  A porcentagem de fumantes de uma cidade  32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o nmero de fumantes ficar reduzido a 12.800. 
  Calcule: 
<R+>
<F->
a) o nmero de fumantes da cidade;  
b) o nmero de habitantes da cidade.  
<F+>
<R->
<p>
Megapotncias 

  Observe as trs potncias. 
 248 -- 332 -- 915 
  Qual delas  a maior? E qual  a menor? 

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<33>
<R+>
Captulo 4- Operaes com 
  radicais 
<R->

A diagonal do quadrado unitrio 

  Quanto mede a diagonal de um quadrado unitrio _`[no representado_`] (lado =1, rea =
 =12=1)? 
  A diagonal divide o quadrado unitrio ao meio: cada parte tem rea 0,5. 
  Para facilitar, vamos considerar quatro quadrados unitrios dispostos como na figura _`[no representada_`], de modo que, calculando o lado do quadrado vermelho, teremos a diagonal do quadrado inicial: 
<R+>
rea do quadrado vermelho =
  =4.0,5=2  
<R->
  Ento: 
 x2=2
 x=2
  A diagonal do quadrado unitrio mede 2. 
  Vamos analisar agora outra situao. 
<p>
A diagonal do retngulo 2 por 1 

  Quanto mede a diagonal de um retngulo _`[no representado_`] de dimenses 2 por 1? 
  A diagonal divide o retngulo ao meio: cada parte tem rea 1. 
  Nesse caso, vamos considerar 4 retngulos e mais 1 quadrado unitrio, dispostos como na figura _`[no representada_`].  
  A rea do quadrado vermelho  a rea do quadrado de lado 3, tirando os quatro cantos, que tm cada um rea 1. Ento:  
<F->
x2=9-4.1  
x2=5 
x=5 
<F+>
  A diagonal do retngulo de dimenses 2 por 1 mede 5. 
<34>
  Vamos ver mais uma situao, agora aplicando os resultados anteriores. 
<p>
As borboletas no banheiro 

  Nas paredes de um banheiro h uma faixa de azulejos com desenhos que lembram borboletas. Observe: 

<R+>
_`[Desenho no representado_`]
<R->
  
  Os azulejos so quadrados de lado 1 dm. Qual  a rea de cada "borboleta"? E o permetro? 
  Note que cada borboleta  desenhada num retngulo de dimenses 2 dm por 3 dm. So traadas diagonais em dois quadrados de lados 1 dm (que medem 2 dm cada uma) e em dois retngulos de 2 dm por 1 dm (que medem 5 dm cada uma). 
  Logo, a rea da borboleta  metade da rea do retngulo de 2 dm por 3 dm; portanto,  3 dm2. 
  O permetro  `(6+25+22`) dm. 
<p>
  Para ter uma ideia melhor da medida do permetro, podemos recorrer a uma calculadora ou usar as aproximaes 5^=2,24 e 2^=1,41. O resultado aproximado  13,30 dm. 

Adio e subtrao com radicais 

  Para calcular a soma (ou a diferena) de duas razes indicadas, devemos extrair as razes e somar (ou subtrair) os resultados. Veja os exemplos: 
<F->
64+36=8+6=14
3125-121=5-11=-6
3+2^=1,73+1,41=3,14
<F+>
  No terceiro exemplo, calculamos um valor aproximado para a soma 3+2. Como 3+2  um nmero irracional, sua representao decimal  infinita e no peridica. 
  Usando uma calculadora, verifique que 3+2=3,146.264... 
<35>
<p>
Simplificando para somar 

  Voc se lembra da reduo de termos semelhantes? Veja os exemplos: 
 7x+2x=(7+2)x=9x 
 5a-2b+8b-11a-b=
  =`(5a-11a`)+`(-2b+8b-b`)=
  =-6a+5b 
  Podemos aplic-la tambm no caso de adies com termos que contm radicais iguais: 
 32+72=`(3+7`)2=102
 -354-254+54=
  =`(-3-2+1`)54=-454
 115-23+35+3=
  =`(115+35`)+
  +`(-23+3`)=145-3
  Em adies com radicais que podem ser simplificados, procuramos simplific-los antes de fazer a soma. 
  Veja os exemplos: 
 45+220=?32.5*+
  +2?22.5*=35+2.
  .25=35+45=75
<p>
 8+327-44=?22.2*+
  +333-422=22+3-
  -2=`(22-2`)+3=2+3

Exerccios

<R+>
<F->
77. Calcule: 
a) 49+81  
b) 364-3-1  
c) 4-327+416-5-1 
d) 325+24-538 

78. A sentena 9+4=13  verdadeira ou falsa? Por qu?   

79. Simplifique, reduzindo termos com radicais iguais: 
a) 23+73  
b) 62+22-52 
c) 62-42+22 
d) 23-53+33-63
e) 35+4-25-8+5  
f) 5-22-3+2-2 
<p>
80. Simplifique os radicais e reduza os termos: 
a) 50+418-62  
b) 220-445+125  
c) 53+12-548   
d) -210-590+610-
  -840 
e) 524-36+54-36  
f) 56+25-224-96-
  -316 
g) 52-25+50-220+
  +500 
h) -1~244+399-
  -2~311-1~41.100  
<36>

_`[{para os exerccios 81 e 82, pea orientao ao professor_`]

81. Observe a figura _`[no representada_`] e responda: 
a) Qual a rea do quadrado {b{d{f{h?  
b) Qual a rea do quadrado {a{c{e{g?  
c) Quanto mede o lado do quadrado {a{c{e{g?  
d) Calcule o permetro: 
<p>
 do quadrado {a{c{e{g.  
 dos tringulos {a{c{e e {a{c{i.  
 dos pentgonos {b{c{e{g{h e {a{c{d{e{g.  
 do hexgono {a{b{c{e{f{g.  

82. Observe a figura _`[no representada_`]. Agora calcule os permetros de: 
a) oito tringulos;  
b) um quadriltero; 
c) um pentgono. 
<F+>
<R->

Desafio

Visitando a Geometria 

  No clculo da diagonal do retngulo 2 por 1, partimos da rea do quadrado vermelho _`[no representado_`]. 
  De fato, os quatro lados vermelhos so iguais, mas para afirmar que formam um quadrado  preciso comprovar que os ngulos so de 90. Comprove! 
<p>
  Qual  o nome do quadriltero plano que tem quatro lados iguais e no  um quadrado?  
<37>

Multiplicao e diviso com 
  radicais 

<R+>
_`[{uma professora pergunta: "Quanto  @4@9? E @2@8?"_`]
<R->

  Como 4=2 e 9=3, temos: 4.9=2.3=6. 
  Por outro lado, 2.8=
 =1,41.421.356...2,82.842.712... Podemos evitar essa multiplicao recorrendo s propriedades dos radicais. 
  J vimos que para a >0 e 
 b >0, vale a igualdade: 
 n?a.b*=na.nb
  Ento: 
 na.nb=n?a.b*
  A multiplicao de dois radicais de mesmo ndice pode ser reduzida a um s radical: basta conservar o ndice e multiplicar os 
<p>
radicandos. No final, extramos a raiz. 
  Assim: 2.8=?2.8*=
 =16=4. 
  Veja outros exemplos: 
 5.20=?5.20*=100=10 
 2.3=?2.3*=
  =6`(^=2,45`) 
2.5.40=?2.5.40*=
  =400=20 
16.2.500=4.50=200 (no 
  precisamos aplicar a proprieda-
  de!) 

<R+>
_`[{uma professora pergunta: "E como  a diviso de radicais?"_`]
<R->
<38>
 
  Agora vejamos a diviso de radicais de mesmo ndice. Para 
 a >0 e b >0: 
 na~nb=a?1~n*~b?1~n*=
  =`(a~b`)1~n=n?a~b*
 na~nb=n?a~b*
<p>
  Podemos reduzir a um s radical, conservando o ndice e dividindo os radicandos. No final, extramos a raiz. 
  Veja os exemplos: 
<F->
60~15=?60~15*=
  =4=2
10~2=?10~2*=
  =5`(^=2,236`)
324~33=3?24~3*=
  =38=2
225~25=15~5=3 
  (Como 225 e 25 so quadrados 
  perfeitos, no precisamos 
  aplicar a propriedade!) 
<F+>
  E se os ndices forem diferentes? 
  Nesse caso, transformamos em radicais de mesmo ndice (mmc dos ndices dados). 
  Por exemplo: 
 2.35=623.652=
  =6?8.25*=6200 
<p>
Exerccios

<R+>
83. Calcule a rea de cada figura: 
<R->
a)
<F->
!::::::
l      _ @5
l      _
h::::::j
 2@5

<F+>
b)
<F->
          
          k
          k 
          k  
          k   
          k      
          k     
          k@12 
          k_-     
 ---------v--------u
_<::::::::::::::::::>l
          @3
<39>
<p>
<R+>
<F->
84. Efetue as multiplicaes, reduzindo a um nico radical e simplificando quando possvel: 
a) 2.5
b) 5.6
c) 3.7
d) 3.12
e) 2.8
f) 2.3.7
g) 35.34
h) 32.34
i) 32.33.310
j) 45.42.410

85. Calcule: 
a) 23.52.6   
b) 32.65.10  
c) 5.8.?2~2*
d) ?6~2*.312.?2~4*
e) ?3~3*.512.
  .?8~10*.32   
f) 28.32.327 
<p>
86. Escreva usando um s radical: 
a) 15~3
b) 3~6
c) 18~6
d) ?8.10*~?20.2*

87. Calcule o valor de cada expresso: 
a) ?6.3*~2
b) ?310.25*~8
c) ?3.75*~3
d) 40~?2.5*

88. Reduza a um s radical: 
a) 42.2
b) 34~2
c) ?2.5*~310
<p>
89. Calcule a rea do trapzio:  
<F+>
<R->

<F->
             @18
         mccccccccccc
         k            
         k             
         k              
         k@12          
         k                  
         k                 
         k                  
         k_-                 
---------v--------------------u
             @72
<F+>
<40>

Potenciao e radiciao 

Potncia de raiz 

<R+>
_`[{uma mulher pergunta para um feirante que vende mandioca, batata-doce e batata: "Quanto  `(2`)3?"_`]
<R->

  Como 2=1,41.421.356..., temos: 
<p>
 `(2`)3=1,41.421.356... 
  1,41.421.356... 
  1,41.421.356... 
  Para evitar essa multiplicao, recorremos s propriedades dos radicais, transformando `(2`)3 numa expresso mais simples de ser calculada. Temos: 
`(2`)3=`(2`)2.2=22 
  H outro modo de fazer essa simplificao. 
  Para a >0: 
`(na`)m=`(a?1~n*`)m=
  =a?1~n.m*=a?m~n*=nam
  Quando *n*  um inteiro positivo, a >0 e *m*  um expoente inteiro, vale a igualdade: 
`(na`)m=nam
  Assim, `(2`)3=23=
 =?22.2*=22. 
  Veja como simplificamos o clculo: 
 `(2`)3=22=2
  1,41.421.356... 
  Aproximando com trs casas decimais, temos `(2`)3=2,828. 
<p>
  Observe outros exemplos: 
`(5`)3=`(5`)2.`(5`)=
  =55 ou `(5`)3=53=
  =?52.5*=55 
`(2`)5=`(2`)2.`(2`)2.
  .2=2.2.2=42 ou 
  `(2`)5=25=?24.2*=
  =222=42 
`(310`)2=3102=3100 
<41>

Raiz de raiz

<R+>
_`[{o feirante pergunta para a mulher: "Posso indicar a raiz de outra raiz num s radical?"_`]
<R->

  Vejamos um exemplo numrico: 
?10*=?`(10`)1~2*=
  =`(101~2`)?1~2*=
  =10?1~2.1~2*=
  =10?1~4*=410
  Quando *m* e *n* so inteiros positivos e a >0, temos: 
m?na*=?`(na`)1~m*=
  =`(a1~n`)?1~m*=
  =a?1~m.1~n*=a?1~mn*=
  =mna
<p>
  Logo, podemos transformar raiz de raiz num s radical multiplicando os ndices das razes: 
m?na*=?m.n*a
  Aplicando essa propriedade: 
@?@10*=?2.2*@10=4@10
  Outro exemplo:
3@?@5*=?3.2*@5=6@5 

Exerccios

<F->
90. Calcule: 
a) `(3`)4 
b) `(2`)10
c) `(45`)8 
d) `(510`)5
e) `(6`)-2 
f) `(2`)-8 
g) `(2`)-12 
h) `(10`)-4 
i) `(2`)5 
<42>

<R+>
91. Dos nmeros a seguir, quantos no so inteiros? E quantos so inteiros mpares?  
a) `(5`)2   
b) `(6`)4 
<p>
c) `(23`)2  
d) `(-52`)2 
e) `(2`)-2
f) `(5`)-4 
g) `(33`)6 
h) `(233`)3 
i) `(542`)4  
j) 6.`[`(2`)4+`(3`)2`] 
k) 18.`[`(2`)-2+`(3`)2`]   
l) 2`(3`)4-3`(2`)6  

92. Qual  a rea de um quadrado cujo lado mede 43 dm? 
93. Qual  o volume de um cubo de aresta 2 cm?  

94. Escreva usando um nico radical: 
a) ?6*   
b) ?310*  
c) ??2** 
d) ?3?5**  

95. Simplifique: 
a) `(2`)9 
b) `(43`)5
c) `(23`)5
<p>
d) `(27`)3 
e) `(2`)3 
f) `(5`)5

96. Calcule o valor de ?-b+?b2-4ac**~2a, para a=4, b=53 e c=3. 

97. D o valor de cada expresso: 
a) `(25`)2
b) `(3?1~3*`)2
c) `(?1+2*`)2
d) `(?32*`)4
e) `(?4+3*`)2+
  +`(?4-3*`)2
f) ?32*.?232*

98. Cada item vale 2,0 pontos. Quantos pontos ganhou o aluno que deu as respostas indicadas?  
a) `(6)6=36  
b) `(32`)5=122  
c) `(?3*~3`)3=?3*~9
d) `(12`)5=2883 
e) `(34`)2=232  
f) `(?2*~2`)5=?2*~4
<R->
<F+>
<p>
<43>
<R+>
Matemtica em notcia

Acompanhe esta matria: 

Brasil j  o sexto maior usurio da internet 
<R->

  O Brasil  o sexto maior usurio de internet no mundo em termos de total de populao que acessa a rede. Os dados foram divulgados ontem pela Organizao das 
 Naes Unidas (ONU) s vsperas da conferncia que ocorrer no Rio de Janeiro na semana que vem e que discutir o futuro da 
 internet.
  Nmeros: 39 milhes de pessoas so usurias de internet em todo o Brasil. 
  21% da populao brasileira est conectada. 
  210 milhes so usurios nos Estados Unidos. 
  1,2 bilho de pessoas acessam a rede em todo o mundo.
  70 milhes tinham acesso h dez anos. 
<p>
<R+>
Acesso  web em casa cresceu 47%, diz pesquisa
<R->

  Alm da ONU, o Ibope tambm divulgou novos nmeros sobre o uso da internet no Brasil. Segundo sua ltima pesquisa, feita em setembro, 20,1 milhes de pessoas j tm acesso  web em suas casas -- nmero 47% maior do que no mesmo ms de 2006. De acordo com o Ibope, os internautas brasileiros so os mais assduos do mundo, pois passam em mdia 22 horas mensais conectados  rede -- superando com folga os norte-americanos e os japoneses, que gastam em mdia 18 horas mensais navegando na rede.
 
<R+>
(*O Estado de S. Paulo*, 3/11/2007.) 
<R->
<p>
  Leia o texto com ateno e:
<F->
<R+>
a) represente, na notao cientfica a10n, com *n* inteiro e 1<=a <10, o nmero de usurios da internet no Brasil, nos 
  Estados Unidos e em todo o mundo, de acordo com dados dessa reportagem. 
b) usando uma calculadora, responda s perguntas seguintes, a partir dos dados do texto: 
 Num perodo de 10 anos o nmero de usurios de internet em todo o mundo aumentou de 70 milhes para 1,2 bilho. De quanto por cento foi esse aumento?  
  poca dessa reportagem, 21% da populao brasileira estava conectada, correspondendo a 39 milhes de usurios. Qual era a populao brasileira?  
 Quantos brasileiros tinham acesso  web em casa, em setembro de 2007? E em setembro de 2006? 
<44>
<p>
Teste seu conhecimento

1. O valor de 
  ?0,64.`(1,52-0,125`).
  .1,4*~1-0,888 :
a) 21,25  
b) 2,125  
c) 1,125
d) 11,25

2. (Fatec-SP) Considere que a massa de um prton  1,710-27 kg, o que corresponde a cerca de 1.800 vezes a massa de um eltron. Dessas informaes  correto concluir que a massa do eltron  aproximadamente:
a) 910-30 kg 
b) 0,910-30 kg 
c) 0,91-31 kg 
d) 2,810-31 kg 
<p>
3. (PUC-RJ) O valor de 2,777... : 
a) 1,2  
b) 1,666...  
c) 1,5
d) um nmero entre 0,5 e 1

4. Quantos algarismos tem o nmero 215.512 escrito na forma decimal? 
a) 10   
b) 12 
c) 13
d) 15 

5. Se a2=53 e b3=52, ento `(ab`)6  igual a:
a) 56
b) 510
c) 512
d) 513

6. Quantas solues reais tem a equao x4-4=0? 
a) nenhuma   
b) uma 
c) duas
d) quatro 
<p>
7. O valor de 256-0,75  igual ao valor de: 
a) 6-2
b) (1~2)6
c) 43
d) 16-3 

8. Calculando ?2~5*.
  .?1-1~2+1~4-1~8*, obtemos: 
a) 1~2
b) 1
c) 2
d) 2 

9. Se x=2 e y=72-32+
  +225, ento: 
a) y=14x  
b) y=12x 
c) y=7x
d) y=2x+10 

10. O radical equivalente a 32.3 : 
a) 6108
b) 672
<p>
c) 636
d) 66 

11. Simplificando ?426*.
  .4?210*, obtemos: 
a) 328 
b) 2 
c) 4
d) 28 

12. Qual  a melhor estimativa do valor de 
  ?4.1020*~?2+1020*?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

13. A raiz da equao 102x=1 : 
a) 0
b) 1~2
c) 1
d) 2 
<p>
14. O valor de *x* na equao 16?x+1*=32  um nmero compreendido entre: 
a) 0 e 0,4 
b) 0,4 e 0,6  
c) 0,6 e 0,9 
d) 0,9 e 1,5

15. Se a rea do quadrado {a{b{c{d  600 cm2, ento o permetro do quadrado {m{n{p{q : 

_`[{figura no representada_`]

a) 60 cm  
b) 103 cm  
c) 203 cm
d) 403 cm
<F+>
<R->

<F->
=================================
  pea orientao ao professor y
ggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               oooooooooooo
<p>
<45>
Unidade 2 -- Clculo algbrico
<46>

Captulo 5- Produtos notveis
 
A data da carta 
 
  Pedro, que adora Matemtica, resolveu deixar um bilhete para seu amigo. Leia-o e responda: Em que dia foi escrito o bilhete? 

<R+>
So Paulo, `(2+1`)2+`(2-1`)2 
  de maio de MMIX. 
 Caro amigo, 
<R->
  Acabei de fazer uma lio de Matemtica. 

  Foi em maio de 2009. 
  O dia -- representado por `(2+1`)2+`(2-1`)2 -- podemos descobrir calculando os dois quadrados. 
<p>
Quadrado da soma ou diferena de 
  dois termos 

  Recordemos produtos notveis: 
<F->
`(a+b`)2=`(a+b`)`(a+b`) 
`(a+b`)2=a2+ab+ba+b2 
<F+>

  `(a+b`)2=a2+2ab+b2 
 
  A deduo tambm pode ser feita usando geometria e a figura a seguir. 

<F->
      a       b
   !:::::::::::
 b l ab    _b2_ b
   r:::::::w::::w
   l       _    _
   l       _    _
 a l a2  _ ba _ a
   l       _    _
   l       _    _
   h:::::::j::::j
      a       b
<F+>

<F->
rea total =`(a+b`)2 
rea total =a2+2ab+b2 
<F+>
<p>
  Trocando *b* por `(-b`) fica:  
 `[a+`(-b`)`]2=a2+2a`(-b`)+`(-b`)2 
  Da: 
 `(a-b`)2=a2-2ab+b2 
  Assim: 
 `(2+1`)2=`(2`)2+2.2.
  .1+12=2+22+1=3+22 
 `(2-1`)2=`(2`)2-2.2.
  .1+12=2-22+1=3-22 
  Logo: 
 `(2+1`)2+`(2-1`)2=
  =3+22+3-22=6 
  Conclumos, ento, que o bilhete foi escrito no dia 6 de maio de 2009. 
<47>
<p>
Exerccios

<R+>
1. Calcule a rea de cada quadrado: 
<R->
<F->
a)
<F->
        !:::::::::
        l         _ 
        l         _
2+@3 l         _
        l         _
        l         _
        h:::::::::j
          2+@3

b)
<F->
         !:::::::::::::
         l             _
         l             _
         l             _ 
10-@5 l             _
         l             _
         l             _
         l             _
         h:::::::::::::j
             2+@3
<F+>
<p>
<R+>
<F->
2. Calcule os produtos notveis: 
a) `(1+2`)2 
b) `(7+5`)2 
c) `(3-3`)2
d) `(3-1`)2
e) `(22+3`)2 
f) `(3+2`)2
g) `(1-23`)2 
h) `(42-3`)2
<F+>
<R->

Um fator racionalizante 

  Sabemos que 5  um nmero irracional e tambm que 3+5  irracional. 
  Por quanto podemos multiplicar 5 a fim de obter um nmero racional no nulo? E 3+5? 
  Como `(5`)2=5,  fcil responder  primeira pergunta: basta multiplicar 5 por ela mesma. O resultado, 5,  um nmero racional no nulo. (H outras respostas -- voc pode descobrir algumas --, mas uma  suficiente para responder  pergunta.) 
<p>
  J multiplicando a soma 3+5 por ela mesma, fica: 
 `(3+5`)`(3+5`)=`(3+5`)2=
  =32+2.3.5+`(5`)2=
  =9+65+5=14+65 
  O resultado, 14+65, continua sendo irracional. 
  Assim, vamos procurar outra forma. 

Produto da soma pela diferena 
  de dois termos 

  Recorde que, no 8 ano, estudamos que: 
 `(a+b`)`(a-b`)=a2-ab+ab-b2 

  `(a+b`)`(a-b`)=a2-b2 

  Ento, vamos multiplicar a soma 3+5 pela diferena 3-5: 
 `(3+5`)`(3-5`)=32-
  -`(5`)2=9-5=4 
  Agora, o resultado  um nmero racional no nulo, como queramos. 
<p>
  Veja estes outros exemplos: 
 `(6+2`)`(6-2`)=62-
  -`(2`)2=36-2=34 
 `(23-1`)`(23+1`)=
  =`(23`)2-12=4.3-1=
  =12-1=11 
<48>

Exerccios

<R+>
<F->
3. Voc escolhe o fator pontinhos e faz a multiplicao. O resultado precisa ser um nmero racional no nulo. 
a) 3...
b) 32...
c) `(3+1`)...
d) `(7-19`)...
e) `(25-5`)...
f) `(11+11`)...

4. Em quais dos itens a seguir o resultado  um nmero racional? Calcule cada um deles:  
a) `(3+5`)`(3-5`) 
b) `(23+32`)2  
c) `(2+37`)`(2-37`)  
<p>
d) `(35-5`)2 
e) ?7+13*.?7-13* 
f) ?3+1*.?3-1* 

5. Desenvolva os seguintes produtos: 
a) `(x+2`)2    
b) `(2x+1`)2   
c) `(x2+4`)2   
d) `(x-5`)2     
e) `(3x-2`)2   
f) `(x2-1`)2  
g) `(2x+1`)`(2x-1`)  
h) `(4x+2`)`(4x-2`) 
i) `(x4+2`)`(x4-2`) 
j) `(2x+2`)2 

6. Calcule: 
a) 2`(3+2`) 
b) 5`(2+5`) 
c) 25`(1-35`)  
d) `(3+1`)`(3+3`)  
e) `(1-2`)`(1-22`)  
f) `(2+1`)`(2-2`) 
<p>
7. Calcule a rea de cada tringulo: 
a) Dado: h=`(1+3`) cm. 
<R->
<F+>

<F->
       
      k  
      k  
      kh  
      k    
      k_-   
 -----u------u
 <::::><::::::>
 1 cm  @3 cm

b) Dado: h=`(5-1`) cm. 
<F->

           'a
         'a  k
       'a    k 
     'a    h k  
   'a        k_- 
 u----------u----
 <::::::::::><::::>
    @5 cm   1 cm
<F+>
<p>
<R+>
<F->
8. Calcule o valor de cada expresso: 
a) ?`(3+2`)2-`(3`)2-
  -`(2`)2*~6 
b) ?`(7+1`)2+`(7-1`)2* 
c) ?`(2+1`)`(2-1`)* 
<F+>
<R->
<49>

Uma diviso complicada 

<R+>
_`[{um professor aponta para o quadro e pergunta: "Qual destes valores  mais aproximado de 4~@2?"; no quadro h as seguintes opes_`]
<R->
<F->
a: 2,80
b: 2,83
c: 2,86
d: 2,89
<F+>

  Para responder, precisamos dividir 4 por 2. Como 2=1,4.142..., vejamos como 
<p>
fica o resultado fazendo as aproximaes de 2 com uma, duas ou trs casas decimais: 
 4~1,4^=2,857; 
  4~1,41^=2,837; 
  4~1,414^=2,829
  Pela primeira diviso, parece que a resposta  *c*; mas as outras indicam que a resposta  *b*. 
  Vamos ver outra forma de obter o resultado. 

Racionalizao de denominadores 

  Podemos responder mais facilmente e com mais preciso  questo anterior recorrendo a uma tcnica denominada racionalizao de denominador. Antes de dividir, multiplicamos o numerador e o denominador da expresso dada por um mesmo fator, de modo que o denominador se transforme num nmero racional. Veja: 
<R+>
 4~2 :> Ficar racional se for multipicado por 2.
<R->
<p>
  Assim: 
 4~2=?4.2*~?2.2*=
  =?42*~2=
  =22^=2`(1,4.142`)=2,8.284
  A resposta , de fato, *b*. 
  Portanto, quando efetuamos um clculo com radicais e aparece radical em denominador, fazemos a racionalizao do denominador. 

Exerccios

<R+>
<F->
9. Racionalize o denominador. Se tiver uma calculadora, calcule o valor com duas casas decimais. 
a) 1~?3*
b) 5~?6*
c) 1~?25*
d) 3~?102*

10. Racionalize o denominador e simplifique: 
6~?3*; 15~?210*
<50>
<p>
11. Responda s perguntas seguintes: 
a) Por quanto podemos multiplicar 2+1 para obter um resultado racional?  
b) Qual  o valor de 1~?2+1* aproximado por trs casas decimais? 

12. Racionalize o denominador: 
a) 1~?4+2*
b) 2~?5+2*
c) 3~?3-1*
d) -1~?7-2*

13. Racionalize o denominador e simplifique: 
a) 3~?3+3*
b) 28~?4-2*
c) 31~?42-1*
d) 3~?23+3*

14. Calcule: 
a) 1~?1-2*-1~?1+2*
b) ?2+3*~?1-5*+
  +?2-3*~?1+5*
<p>
c) 1+2~?1+3*+1~?2+3*
d) ?3-1~3*~2
e) ?1-1~3*~?1+1~3*
f) 1~?2+1*+1~?2-1*-
  -22  

15. Usando 10^=3,16, calcule um valor aproximado para ?5~8*.

16. Racionalize o denominador e, se possvel, simplifique: 
a) 1~35
b) 2~32
c) 4~34
d) 1~52

_`[{um menino pensa nos seguintes 
  clculos: 3@53@5=
  =3@52; 3@5
  3@52=..._`]
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<51>
Captulo 6- Fatorao

Recordando 

  Ao estudarmos fatorao, no ano anterior, vimos duas aplicaes importantes: 
<R+>
 Para simplificar uma frao algbrica, precisamos fatorar o numerador e o denominador. Por exemplo: 
<R->
 ?x3+2x2*~?x2-4*=
  =?x2.`(x+2`)*~?`(x+2`).
  .`(x-2`)*=x2~x-2
<R+>
 Podemos resolver equaes fatorando e aplicando o fato de que um produto s  igual a zero se pelo menos um de seus fatores  zero. Por exemplo: 
<R->
 x2+3x=0 
 x.`(x+3`)=0 
 x=0 ou x+3=0 
 x=0 ou x=-3 
  As solues da equao x2+3x=0 so 0 e -3. 
<p>
  Vamos rever e complementar o estudo da fatorao. Algumas frmulas algbricas tambm so apresentadas geometricamente por meio de reas de figuras planas. 

Fator comum e agrupamento 

  Quando os termos de um polinmio apresentam um fator comum, este pode ser colocado em evidncia, como, por exemplo: 
 ab+ac=a`(b+c`) 
 x5+x4+2x3=x3`(x2+x+2`) 

<F->
 !::::
 l    _  
 l    _  
 l ab _ b
 l    _  
 l    _  
 r::::w
 l    _  
 l ac _ c
 l    _  
 h::::j
   a
<F+>
<p>
  Na fatorao por agrupamento, aps fatorar cada grupo, vemos que os grupos ainda apresentam um fator comum a ser colocado em evidncia. 
  Veja os exemplos: 
 ax+ay+bx+by=a`(x+y`)+b`(x+y`)=
  =`(x+y`)`(a+b`) 
x2+xy-x-y=x`(x+y`)-1`(x+y`)=
  =`(x+y`)`(x-1`) 
<52>

Diferena de dois quadrados 

  Observe as figuras a seguir: 

<R+>
_`[{a rea colorida foi representada por _`]
<R->
<p>
<F->
       a
  !::::::::
  l     _   _
  l    _  _
a l     _   _
  l:::::w:::w
  l    _   _
  h:::::j:::j
    a-b   b

rea pintada =a2-b2

    !:::::::::::
    l     _   _   _
    l     _   _   _
a-b l    _  _  _
    l     _   _   _
    l     _   _   _
    h:::::j:::j:::j
          a     b
<F+>

rea pintada =`(a+b`)`(a-b`) 

  Note que as reas pintadas so iguais. A diferena de dois 
<p>
quadrados pode ser fatorada empregando-se: 
 a2-b2=`(a+b`)`(a-b`) 
  Veja estes exemplos: 
 x2-25=x2-52=`(x+5`)`(x-5`) 
 x4-1=`(x2`)2-12=
  =`(x2+1`)`(x2-1`)=
  =`(x2+1`)`(x+1`)`(x-1`) 

Trinmio quadrado perfeito 

  Vamos recordar alguns pontos: 
<R+>
 inteiro quadrado perfeito :>  o quadrado de outro inteiro -- 
  16  inteiro quadrado perfeito, pois 16=42. 
 polinmio quadrado perfeito :>  o quadrado de outro polinmio -- 16x2  monmio quadrado perfeito, pois 16x2=`(4x`)2. 
<R->
  Como `(a+b`)2=a2+2ab+b2, o trinmio a2+2ab+b2  quadrado perfeito. E tambm a2-2ab+b2, que  o quadrado de a-b. Para fatorar trinmios quadrados perfeitos, basta indic-los na forma de quadrados: 
<p>
  a2+2ab+b2=`(a+b`)2 e 
 a2-2ab+b2=`(a-b`)2. 

  A figura a seguir demonstra geometricamente o trinmio quadrado perfeito. 

<F->
     a     b
  !::::::::::
b l ab   _b2_ b
  l::::::w::::w
  l      _    _
a l a2 _ ab _ a
  l      _    _
  h::::::j::::j
     a     b
<F+>

rea total =a2+2ab+b2=  
  =`(a+b`)2

  Veja os exemplos: 
x2+8x+16=x2+2.x.4+42=
  =`(x+4`)2  
4x2-4x+1=`(2x`)2-2.2x.
  .1+12=`(2x-1`)2 
<53>
<p>
Exerccios
 
<R+>
17. A rea de um retngulo  dada pela expresso 2x2+4x, e 
  um dos lados  2x. Qual  a expresso que d o outro lado? 
<R->

<F->
!::::::::::::::::::
l                  _
l                  _ 
l rea =2x2+4x _ '''
l                  _
l                  _
h::::::::::::::::::j
        2x
<F+>

<R+>
<F->
18. Coloque em evidncia o fator comum: 
a) mx+nx-px 
b) 20x2+25x 
c) 4m3-6m2  
d) a3b2c2+a2b3c2+
  +a2b2c3 
e) 3~5x2y2-9~25xy
f) 16a4-64a3  
g) `(a+b`)x+2`(a+b`) 
h) `(a+1`)x+`(a+1`)y  
<p>
19. Agrupe convenientemente os termos e fatore: 
a) ax+ay-bx-by  
b) m2-mn-3m+3n  
c) x3+2x2+2x+4   
d) 12+4a+3b+ab  
e) 7x2-y+x-7xy  
f) m2n-1+n-m2 

20. Resolva cada equao: 
a) x3-2x2=0 
b) 4x2+2x=0 
c) x3+x2+4x+4=0
d) x3+x2-4x-4=0  

21. Simplifique a expresso ?6x5+12x4*~?3x2+6x*. 
22. Quantas razes reais tem a equao x3+x2+x+1=0?  

23. Fatore as diferenas de quadrados: 
a) 25a2-16 
b) x2-81  
c) 100x2-1  
d) a2b2-4  
<p>
e) 4a2-9b2  
f) `(x+y`)2-y2 
g) `(a+b`)2-`(a-b`)2 
h) 1-`(x+y`)2  

24. Fatore os trinmios: 
a) x2+2xy+y2 
b) a2+2a+1 
c) x2-6x+9
d) 4x2-4x+1  
e) m2+4mn+4n2  
f) x2-12x+36  
g) 9x2+6x+1  
h) x3+2x2+x  

25. Fatore completamente: 
a) a4-a2 
b) 2ax2-32a 
c) a3+a2-4a-4 
d) x8-1
e) x4-2x2+1 
f) x5+2x4+x3

26. Simplifique: 
?x3+x*~?x4-1*; 
  ?`(x-y`)2-2`(x-y`)*~
  ~?ax-ay+2x-2y* 
<54>
<p>
27. Indique o valor de: 
a) m2, sendo m >=0  
b) ?`(a+b`)2*, sendo a+b >=0 
c) ?x2+2x+1*, sendo x+1>=0 
d) ?x2-2x+1*, sendo x >=1  

28. Simplifique: 
?`(a+b`)2-4ab*, sendo 
  a-b >=0; ?a2+1~a2+2*=, 
  sendo a >0.
29. Sob que condio a igualdade  verdadeira? 
?x2+2x+1*=x+1; ?x2-2x+1*=1-x. 
<F+>
<R->

Formando uma equao 

  Voc sabe formar uma equao que tem razes 2 e 3?  fcil. Veja: 
<R+>
<F->
 Equao que tem raiz 2: 
x=2 ou, ento, x-2=0 
 Equao que tem raiz 3: 
x=3 ou, ento, x-3=0 
<F+>
<R->
<p>
  Considerando a equao produto:
 `(x-2`)`(x-3`)=0 
  Para resolv-la basta igualar cada fator a zero. Logo, suas razes so 2 e 3. Assim, uma equao de razes 2 e 3  `(x-2`)`(x-3`)=0, ou, efetuando a multiplicao, x2-5x+6=0. 

Trinmio do 2 grau 

  Repare que x2-5x+6  um trinmio do segundo grau (o grau 2  o maior expoente de *x*). A sua forma fatorada  `(x-2`)`(x-3`), isto : 
 x2-5x+6=`(x-2`)`(x-3`) 
  Vamos agora generalizar. Para formar a equao de razes *m* e *n*, temos: 
 raiz *m* :> x-m=0 
 raiz *n* :> x-n=0 
 razes *m* e *n* :> `(x-m`)`(x-n`)=
  =0 
 raizes *m* e *n* :> x2-mx-
  -nx+mn=0 
<p>
 raizes *m* e *n* :> x2-x`(m+n`)+
  +mn=0 
 raizes *m* e *n* :> x2-`(m+n`)x+
  +mn=0 

  Uma equao de razes *m* e *n* : 
 `(x-m`)`(x-n`)=0 ou, ento, x2-
  -`(m+n`)x+mn=0
 `(m+n`) :> soma das razes
 mn :> produto das razes
<55>

  A forma fatorada do trinmio do 2 grau em *x*, x2-`(m+n`)x+mn,  `(x-m`)`(x-n`). 

  x2-`(m+n`)x+mn=`(x-m`)`(x-n`)
 `(m+n`) :> soma das razes 
 mn :> produto das razes 
 m :> uma raiz 
 n :> outra raiz
 
  Como formamos uma equao de razes 5 e 7? 
<R+>
1 modo: Partindo da equao produto:
<R->
<p>
 `(x-5`)`(x-7`)=0
 x2-5x-7x+35=0
 x2-12x+35=0
<R+>
2 modo: Partindo da soma e do produto das razes: 
<R->
 5+7=12 e 5.7=35
 equao: x2-12x+35=0
  Vamos ver alguns exemplos: 
  Como descobrimos as razes e fatoramos os trinmios x2-8x+
 +12 e x2+8x+12? 
 x2-8x+12
 8x :> soma das razes 
 12 :> produto das razes 
  Os dois nmeros que tm soma 8 e produto 12 so 6 e 2, porque 6+2=8 e 6.2=12. 
  Ento, as razes so 6 e 2, e temos: 
 x2-8x+12=`(x-6`)`(x-2`) 
  Podemos conferir a fatorao efetuando a multiplicao: 
 `(x-6`)`(x-2`)=x2-2x-6x+12=
  =x2-8x+12. 
 x2+8x+12=x2-`(-8`)x+12 
 soma das razes :> `(-8) 
 produto das razes :> 12
<p>
  Agora, a soma das razes  -8 e o produto  12. As razes so -6 e -2, porque -6-2=-8 e `(-6`)`(-2`)=12. 
  Ento: 
 x2+8x+12=`[x-`(-6`)`]`[x-`(-2`)`] 
 x2+8x+12=`(x+6`)`(x+2`) 
  Confira! 

Exerccios 

<R+>
<F->
30. Forme uma equao de razes: 
a) 3 e 4  
b) -2 e -5  
c) -6 e 3 
d) -3 e 6  
<56>

31. Fatore os trinmios de cada item. Confira se sua resposta est correta efetuando (mentalmente) a multiplicao. 
<R+>
a) x2-4x+3; y2+11y+30; x2-10x+24; x2-7x+10; y2+11y+24; y2-6y+5. 
<p>
b) x2+3x-18; t2-t-12; a2-4a-45; x2-7x+6; x2-6x-16; y2+4y-5.
<R->

32. Simplifique: 
?x2-4*~?x2-6x+8*; 
  ?x2+8x+16*~?x2+10x+16*.
  .?x2-64*~?x2-4x-32*

<R+>
<F->
33. Resolva as equaes: 
a) x2+5x-50=0 
b) x2+12x+32=0 
c) x2-12x+32=0 
d) x2+4x-32=0 
e) x2-4x-32=0  
f) x2-2x-3=0 
g) x2-16=0 
h) x2-20=0
i) 4x2-3=0  
j) x2+4=0
 
34. Quais das equaes a seguir no admitem raiz real? 
a) x+1=0  
b) x2+1=0 
c) x3+1=0  
d) x4+1=0 
<p>
35. Forme uma equao de razes 2, 3 e 4.
<F+>

Desafio
 
Siga as setas 

_`[{cartela de setas no representada_`]
<R->

  Das alternativas a seguir, qual  a sequncia de setas que liga 1.111 a 1.114? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<57>

Matemtica em notcia
 
A engenharia no Pas

  O crescimento recente do Pas fez explodir a procura por profissionais e valorizou novamente uma 
<p>
das profisses mais antigas do mundo. Em tempos de Programa de Acelerao do Crescimento (PAC), j faltam engenheiros para as obras de infraestrutura, minerao e na indstria do petrleo, sem contar o *boom* da construo civil residencial. O otimismo do mercado comeou neste ano a se refletir em grandes vestibulares; aumentou a procura para os cursos nas universidades. Mas estima-se que o Brasil precise formar 20 mil engenheiros a mais por ano. 
  [...] 
  "Chegou a nossa vez", anima-se o vice-diretor da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo (Poli-USP), Jos Roberto Cardoso. Na instituio, alunos do ltimo ano precisam se decidir entre quatro ou cinco propostas de emprego. Os salrios iniciais ficam prximos dos R$5 mil. No vestibular de 2008, 10.160 estudantes disputaram as 
<p>
750 vagas da Poli, um aumento de 37% com relao ao ano anterior. 
  [...] 

<R+>
(*O Estado de S. Paulo*, 27/7/2008.)
<R->

Crescimento menor que a demanda

  O Pas precisa de 50 mil novos engenheiros todos os anos. Os 1.173 cursos em 51 reas formam apenas 30 mil.

<R+>
<F->
_`[{grfico "A engenharia no pas" adaptado na forma de tabela em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: ano;
2 coluna: nmero de alunos;
3 coluna: nmero de concluintes.
<F+>
<R->
<p>
 !::::::::::::::::::::::::::
 l 1   _ 2      _ 3     _
 r:::::::w::::::::::w:::::::::w
 l 2000 _ 184.348 _ 17.818 _
 r:::::::w::::::::::w:::::::::w
 l 2001 _ 196.306 _ 17.933 _
 r:::::::w::::::::::w:::::::::w
 l 2002 _ 215.178 _ 19.810 _
 r:::::::w::::::::::w:::::::::w
 l 2003 _ 234.680 _ 21.863 _
 r:::::::w::::::::::w:::::::::w
 l 2004 _ 247.478 _ 23.831 _
 r:::::::w::::::::::w:::::::::w
 l 2005 _ 266.163 _ 26.555 _
 r:::::::w::::::::::w:::::::::w
 l 2006 _ 286.743 _ 30.246 _
 h:::::::j::::::::::j:::::::::j

Vestibulares de engenharia

<R+>
<F->
Vagas em vestibulares (maior parte em engenharia eltrica): 142.896.
Inscritos nos vestibulares: 373.449.
Ingressantes nos cursos: 81.781.
<F+>
<R->
<p>  
<R+>
Aumento de inscritos em relao ao ano passado
<R->

<F->
UNB 80%
UNESP (**) 50%
FUVEST 37%
FEI (**) 31%
UNICAMP 6,5%
<F+>

<R+>
<F->
Obs.: Os nmeros mais recentes do Inep/MEC so de 2006.
(**) Exame de julho de 2008.
<F+>
<R->

<R+>
*Fontes*: INEP/MEC, 
  FUVEST, UNESP, UNICAMP, FEI e UNB.

<F->
a) Observe os grficos e responda, sem calcular: em que anos a porcentagem de formandos em Engenharia, em relao ao total de alunos, superou 10%?
b) Calcule quantos candidatos por vaga se inscreveram nos vestibulares de engenharia: 
<p>
 do pas, considerando os 373.449 inscritos para 142.896 vagas; 
 da Escola Politcnica (USP), no vestibular 2008;  
 da Escola Politcnica (USP), no vestibular 2007. 
<F+>
<58>

Teste seu conhecimento 
 
1. A rea do retngulo colorido :
<R->

<F->
      y _
        _
@5-1 _
        _
        _
        _
     ---#---
     0 _       @5+1  x
<F+>

<R+>
<F->
a) 2,5  
b) 4
c) 4,5 
d) 5 
<p>
2. `(2+1~?2*`)2  
  igual a: 
a) 4,5 
b) 4 
c) 3,5
d) 2,5 

3. Calcule o valor da expresso: 
`(23+1`)2+`(23-1`)2-
  -`(23+1`)`(23-1`)
a) 39 
b) 37  
c) 19
d) 15

4. Como 7=2,646, o valor de 35~7 :
a) 11,22 
b) 12,23 
c) 13,23 
d) 13,28 

5. ?3+1*~?3-1*  igual a: 
a) 4+23 
b) 2+23 
<p>
c) 23 
d) 2-3 

6. Verifique as igualdades: 
I- ?x2+y2*~?x+y*=x+y
II- ?x2-y2*~?x-y*=x-y
III- ?x2-y2*~?x-y*=x+y
  Quantas delas so verdadeiras? 
a) nenhuma 
b) uma  
c) duas
d) trs
 
7. (FGV-SP) Simplifi-
  cando-se a frao 
  ?m2+m*~?5m2+10m+5*, obtm-se:
a) 1~11
b) m~?5`(m+1`)*
c) m~?5`(m-1`)*
d) ?m+1*~5m

8. Se *x*  o primeiro ano do sculo XXI, ento ?x3-x2+x-1*~?2x2+2*  o: 
a) ltimo ano do sculo XX; 
b) primeiro ano do sculo XX; 
<p>
c) ltimo ano do sculo X; 
d) primeiro ano do sculo XI. 

9. Se x=9,09 e y=1,01, ento o valor de ?x2-y2*~?x+y*.
  .?x2+2xy+y2*~?x-y* :
a) 102,01 
b) 111,1 
c) 1.001,01 
d) 1.020,1 

10. O nmero 5.0012.5.000-
  -5.000`.4.9992  igual  potncia: 
a) 108 
b) 107 
c) 106 
d) 105 

11. A expresso ?258+518*~
  ~?254+510*  igual a:
a) 5 
b) 25 
c) 125 
d) 625 
<p>
12. Se ab=2 e a+b+a2b+
  +ab2=13,5, ento a soma 1~a+1~b  igual a:
a) 2,5 
b) 2,25 
c) 1,5 
d) 1,25 

13. Qual o valor de 
  `(1-x`)`(1+x`)`(1+x2`)`(1+x4`)-
  -1, para x=2? 
a) 4 
b) -4 
c) 16 
d) -16 

14. Para x=-2, o valor de ?x2+2x+1* : 
a) 1 
b) -1 
c) 2 
d) -2
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Primeira Parte

